Enunciado

Use a fórmula de redução (9) para calcular: ( a ) ∫ s e n 4 x d x                         ( b ) ∫ 0 π / 2 s e n 5 x d x

Passo 1

A fórmula de redução (9) que o exercício pede para usarmos é dada por:

∫ s e n n d x = - 1 n s e n n - 1 x cos ⁡ x + n - 1 n ∫ s e n n - 2 x d x

Aqui, devemos substituir o valor de n nos itens (a) e (b) desse exercício.

Passo 2

  1. ∫ s e n 4 x d x
  2. Se observarmos a estrutura da função dada, vamos notar que pode ser usada na fórmula (9) substituindo n = 4 :

    ∫ s e n 4 d x = - 1 4 s e n 4 - 1 x cos ⁡ x + 4 - 1 4 ∫ s e n 4 - 2 x d x

    Simplificando, temos:

    ∫ s e n 4 d x = - 1 4 s e n 3 x cos ⁡ x + 3 4 ∫ s e n 2 x d x

    Antes de resolver, temos que avaliar ∫ s e n 2 x d x aplicando na fórmula (9) com n = 2 :

    ∫ s e n 2 x d x = - 1 2 s e n 2 - 1 x cos ⁡ x + 2 - 1 2 ∫ s e n 2 - 2 x d x

    ∫ s e n 2 x d x = - 1 2 s e n x cos ⁡ x + 1 2 ∫ d x

    ∫ s e n 2 x d x = - 1 2 s e n x cos ⁡ x + 1 2 x

    Retornando a integral principal, temos:

    ∫ s e n 4 d x = - 1 4 s e n 3 x cos ⁡ x + 3 4 - 1 2 s e n x cos ⁡ x + 1 2 x

    Simplificando:

    ∫ s e n 4 d x = - 1 4 s e n 3 x cos ⁡ x - 3 8 s e n x cos ⁡ x + 3 8 x + C

    Passo 3

  3. ∫ 0 π 2 s e n 5 x d x

Nesse caso, o processo é o mesmo. Vamos agora substituir a função dada aplicando na fórmula (9) com n = 5 :

∫ s e n 5 d x = - 1 5 s e n 5 - 1 x cos ⁡ x + 5 - 1 5 ∫ s e n 5 - 2 x d x

Simplificando:

∫ s e n 5 d x = - 1 5 s e n 4 x cos ⁡ x + 4 5 ∫ s e n 3 x d x

Antes de resolver, temos que avaliar ∫ s e n 3 x d x aplicando na fórmula (9) com n = 3 :

∫ s e n 3 x d x = - 1 3 s e n 3 - 1 x cos ⁡ x + 3 - 1 3 ∫ s e n 3 - 2 x d x

∫ s e n 3 x d x = - 1 3 s e n 2 x cos ⁡ x + 2 3 ∫ s e n x d x

Retornando a integral principal, temos:

∫ s e n 5 d x = - 1 5 s e n 4 x cos ⁡ x + 4 5 - 1 3 s e n 2 x cos ⁡ x + 2 3 ∫ s e n x d x

Resolvendo, temos:

∫ s e n 5 d x = - 1 5 s e n 4 x cos ⁡ x + 4 5 - 1 3 s e n 2 x cos ⁡ x - 2 3 c o s ( x )

Simplificando, temos:

∫ s e n 5 d x = - 1 5 s e n 4 x cos ⁡ x - 4 15 s e n 2 x cos ⁡ x - 8 15 c o s ⁡ ( x )

Aplicando nos limites de integração, temos:

∫ 0 π 2 s e n 5 x d x = - 1 5 s e n 4 x cos ⁡ x - 4 15 s e n 2 x cos ⁡ x - 8 15 c o s ⁡ ( x ) 0 π 2

Resolvendo, temos:

∫ 0 π 2 s e n 5 x d x = - 1 5 s e n 4 π 2 cos ⁡ π 2 - 4 15 s e n 2 π 2 cos ⁡ π 2 - 8 15 c o s ⁡ ( π 2 ) - - 1 5 s e n 4 0 cos ⁡ 0 - 4 15 s e n 2 0 cos ⁡ 0 - 8 15 c o s ⁡ ( 0 )

∫ 0 π 2 s e n 5 x d x = 8 15

Resposta

(a)   ∫ s e n 4 d x = - 1 4 s e n 3 x cos ⁡ x - 3 8 s e n x cos ⁡ x + 3 8 x + C

(b)   ∫ 0 π 2 s e n 5 x d x = 8 15

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