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Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46.

∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ

Passo 1

Vamos começar fazendo uma mudança de variável:

u = tan ⁡ θ / 6

Derivando dos dois lados:

d u = sec 2 ⁡ θ 6 θ 6 ' d θ

d u = sec 2 ⁡ θ 6 d θ 6

6 d u = sec 2 ⁡ θ 6 d θ

Além disso, temos que transformar os limites superior e inferior da integral para a nova variável:

θ = π → u = tan ⁡ π / 6 = 3 3

θ = 3 π / 2 → u = tan ⁡ 3 π 2 6 = 1

Passo 2

Colocando na integral,

∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ = ∫ π 3 π / 2 tan - 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ = ∫ 3 / 3 1 6 u - 5 d u

Calculando a integral:

6 ∫ 3 / 3 1 u - 5 d u = 6 u - 4 - 4 3 / 3 1 = 6 - 1 4 u 4 3 / 3 1

6 ∫ 3 / 3 1 u - 5 d u = 6 - 1 4 u 4 3 / 3 1 = 6 - 1 4 ∙ 1 4 - - 1 4 3 3 4

6 ∫ 3 / 3 1 u - 5 d u = 6 - 1 4 + 1 4 ∙ 1 9 = 6 - 1 4 + 9 4 = 12

Prontinho!!!

Resposta

12

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