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Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46.

∫ 1 2 2 ln ⁡ x x d x

Passo 1

Vamos começar fazendo uma mudança de variável:

u = ln ⁡ x

Derivando dos dois lados:

d u = d x x

Além disso, vamos transformar os limites superior e inferior da integral para a nova variável:

x = 1 → u = ln ⁡ 1 = 0

x = 2 → u = ln ⁡ 2

Passo 2

Colocando na integral,

∫ 1 2 2 ln ⁡ x x d x = 2 ∫ 1 2 ln ⁡ x ∙ d x x = 2 ∫ 0 ln ⁡ 2 u d u

Calculando a integral:

2 ∫ 0 ln ⁡ 2 u d u = 2 u 2 2 0 ln ⁡ 2 = u 2 0 ln ⁡ 2 = ln ⁡ 2 2 - 0 2 = ln ⁡ 2 2

Prontinho!!!

Resposta

ln ⁡ 2 2

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