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Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas) - Capítulo 5.6 - Ex. 37

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Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular a integral

∫ - π / 2   π / 2 2 cos ⁡ ( θ ) 1 + s e n θ 2   d θ

Passo 1

Vamos começar nossa questão por relembrar o Teorema 7 – Substituição em integrais definidas. Se g ' for contínua no intervalo a , b e f fr contínua na imagem de g x = u , então

∫ a b f g x ⋅ g ' x   d x = ∫ g ( a ) g ( b ) f ( u )   d u

A ideia por trás deste teorema é encontrarmos uma função u = g ( x ) para que transformemos a nossa integral difícil em algo bem fácil! Inicialmente parece ser difícil visualizar uma boa mudança, mas com o decorrer das questões você verá que isto é bem simples!

Vamos optar por resolver a integral indefinida primeiramente. Após obtermos a primitiva da função, basta substituir os limites de integração conforme o teorema fundamental do cálculo.

Passo 2

Vamos fazer a nossa primeira substituição. Para isto, fazemos u = s e n ( θ ) . Consequentemente, temos que d u = cos ⁡ ( θ )   d θ . Se analisarmos apenas a integral indefinida, temos:

∫ 2 cos ⁡ ( θ ) 1 + s e n θ 2   d θ   = ∫ 2 1 + u 2   d u  

Passo 3

A integral que obtemos no Passo anterior é a de uma batida. Vocês a verão diversas e diversas vezes, principalmente quando estudarem a técnica de resolução de integrais por frações parciais! Mas, por enquanto, vamos precisar relembrar da função t g - 1 ( x ) , a função arco tangente. Se vocês não se recordam, a derivada desta função é:

t g - 1 x ' = 1 1 + x 2

E não é que o resultado é a função que precisamos integrar! Portanto, a primitiva da nossa função é a função t g - 1 ( u ) . Logo,

∫ 2 1 + u 2   d u   = 2 t g - 1 u + k

Muita calma nessa hora! Não podemos esquecer da constante k , já que a integral que foi resolvida é uma integral indefinida. Vamos voltar para a nossa variável θ . Temos então:

2 t g - 1 u + k = 2 t g - 1 s e n θ + k

Passo 4

Após obtemos o valor da integral indefinida, para fazermos os cálculos da integral definida, é só esquecermos a existência da constante k ! Portanto, temos:

∫ - π / 2   π / 2 2 cos ⁡ ( θ ) 1 + s e n θ 2   d θ = 2 t g - 1 s e n θ - π / 2 π / 2

∫ - π / 2   π / 2 2 cos ⁡ ( θ ) 1 + s e n θ 2   d θ = 2 t g - 1 s e n π 2 - 2 t g - 1 s e n - π 2

∫ - π / 2   π / 2 2 cos ⁡ ( θ ) 1 + s e n θ 2   d θ = 2 t g - 1 1 - 2 t g - 1 - 1

∫ - π / 2   π / 2 2 cos ⁡ ( θ ) 1 + s e n θ 2   d θ = 2 π 4 - 2 - π 4

Logo,

∫ - π / 2   π / 2 2 cos ⁡ ( θ ) 1 + s e n θ 2   d θ = π

Resposta

∫ - π / 2   π / 2 2 cos ⁡ ( θ ) 1 + s e n θ 2   d θ = π

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