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Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular a integral

∫ 0 3 2 / 4 d s 9 - 4 s 2

Passo 1

Vamos começar nossa questão por relembrar o Teorema 7 – Substituição em integrais definidas. Se g ' for contínua no intervalo a , b e f fr contínua na imagem de g x = u , então

∫ a b f g x ⋅ g ' x   d x = ∫ g ( a ) g ( b ) f ( u )   d u

A ideia por trás deste teorema é encontrarmos uma função u = g ( x ) para que transformemos a nossa integral difícil em algo bem fácil! Inicialmente parece ser difícil visualizar uma boa mudança, mas com o decorrer das questões você verá que isto é bem simples!

Vamos optar por resolver a integral indefinida primeiramente. Após obtermos a primitiva da função, basta substituir os limites de integração conforme o teorema fundamental do cálculo.

Passo 2

Vamos começar por reorganizar a nossa função para que apareça uma função que já aprendemos a derivar. Vamos então a nossa questão!

∫ d s 9 - 4 s 2 = ∫ d s 9 ⋅ 1 - 4 s 2 9  

∫ d s 9 ⋅ 1 - 4 s 2 9 = ∫ d s 3 1 - 2 s 3 2  

A nossa primeira substituição será 2 s 3 = u . Consequentemente, d s = 3 2   d u . Fazendo esta substituição, temos:

∫ d s 2 1 - u 2  

Passo 3

A integral que obtemos no Passo anterior é a de uma batida. Quando estudamos derivadas de funções trigonométricas, a fizemos algumas vezes. Vocês se lembram???

Se não, ela nada mais é do que a derivada da função s e n - 1 ( u ) ! Relembrando a sua derivada é:

s e n - 1 u ' = 1 1 - u 2

E não é que o resultado é a função que precisamos integrar! Portanto, a primitiva da nossa função é a função s e n - 1 ( u ) . Logo,

∫ d s 2 1 - u 2   = s e n - 1 u 2 + k

Muita calma nessa hora! Não podemos esquecer da constante k , já que a integral que foi resolvida é uma integral indefinida. Vamos voltar para a nossa variável s. Temos então:

s e n - 1 u 2 + k = s e n - 1 2 s 3 2 + k

Passo 4

Após obtemos o valor da integral indefinida, para fazermos os cálculos da integral definida, é só esquecermos a existência da constante k ! Portanto, temos:

∫ 0 3 2 / 4 d s 9 - 4 s 2 = s e n - 1 2 s 3 2 0 3 2 / 4

∫ 0 3 2 / 4 d s 9 - 4 s 2 = s e n - 1 2 ⋅ 3 2 4 3 2 - s e n - 1 0 2

∫ 0 3 2 / 4 d s 9 - 4 s 2 = s e n - 1 2 2 2 - 0

Logo,

∫ 0 3 2 / 4 d s 9 - 4 s 2 = π 4 2 = π 8

Resposta

∫ 0 3 2 / 4 d s 9 - 4 s 2 = π 8

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