Enunciado

Use as fórmulas de redução do Exercício 64 para calcular as integrais.

( a ) ∫ x 2 e 3 x d x                 ( b ) ∫ 0 1 x e - x d x

Passo 1

  1. Vamos usar as fórmulas dada pelo exercício 64, uma delas diz que:
  2. ∫ x n e x d x = x n e x - n ∫ x n - 1 e x d x

    Chamaremos t = 3 x e d t 3 = d x e x 2 = t 2 9 , ficaremos com a seguinte integral:

    I = ∫ x 2 e 3 x d x = 1 27 ∫ t 2 e t d t

    Agora, usando a fórmula de redução, temos:

    1 27 ∫ t 2 e t d t = 1 27 t 2 e t - 2 ∫ t e t d t

    1 27 ∫ t 2 e t d t = 1 27 [ t 2 e t - 2 t e t + 2 e t + C ]

    1 27 ∫ t 2 e t d t = 1 27 [ 9 x 2 e 3 x - 6 x e 3 x + 2 e 3 x + C ]

    Simplificando:

    ∫ x 2 e 3 x d x = - 1 3 x 2 e 3 x - 2 9 x e 3 x + 2 27 e 3 x + C

    Passo 2

  3. ∫ 0 1 x e - x d x

Vamos avaliar a integral, usando a substituição u = - x e assim u 2 = x   e d x = 2 u d u .

Mudando os limites vamos de 0 a -1.

A integral pode ser dada por:

∫ 0 1 x e - x d x = ∫ - 1 0 2 u u 2 e u d u = - 2 ∫ - 1 0 u 3 e u d u

Aplicando na fórmula de redução:

∫ 0 1 x e - x d x = - 2 e u u 3 - 3 e u u 2 + 6 u e u - 6 e u - 1 0 = 12 - 32 e

Resposta

  1. ∫ x 2 e 3 x d x = - 1 3 x 2 e 3 x - 2 9 x e 3 x + 2 27 e 3 x + C
  2. ∫ 0 1 x e - x d x = 12 - 32 e

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →