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Use integração por partes, juntamente com as técnicas desta seção, para calcular a integral.

∫ ln ⁡ ( x 2 - x + 2 )   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral usando inicialmente integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Vamos chamar u = ln ⁡ ( x 2 - x + 2 ) e d v = d x . Assim, v = x e

d u = 2 x - 1 x 2 - x + 2   d x

Portanto,

∫ ln ⁡ ( x 2 - x + 2 )   d x = x ln ⁡ ( x 2 - x + 2 ) - ∫ 2 x 2 - x x 2 - x + 2 d x

Para calcular a integral que sobrou vamos precisar das frações parciais!

Passo 2

Nosso foco agora é calcular a integral ∫ 2 x 2 - x x 2 - x + 2 d x . Vamos começar dividindo o numerador pelo denominador:

2 x 2 - x = 2 x 2 - x + 2 + x - 4

Assim,

2 x 2 - x x 2 - x + 2 = 2 + x - 4 x 2 - x + 2

Vamos brincar agora com a segunda parte. Completando o quadrado do denominador:

x 2 - x + 2 = x 2 - x + 1 4 + 2 - 1 4 = x - 1 2 2 + 7 4

Portanto,

∫ 2 x 2 - x x 2 - x + 2 d x = 2 x + ∫ x - 4 x - 1 2 2 + 7 4 d x

Para calcular a integral que sobrou, vamos fazer u = x - 1 2 ⇒ x = u + 1 2 ⇒ x - 4 = u - 7 2 . Assim,

∫ x - 4 x - 1 2 2 + 7 4 d x = ∫ u - 7 2 u 2 + 7 4   d u = ∫ u u 2 + 7 4   d u - 7 2 ∫ 1 u 2 + 7 4   d u

Portanto,

∫ x - 4 x - 1 2 2 + 7 4 d x = 1 2 ln ⁡ u 2 + 7 4 - 7 7 a r c t g   2 u 7 = = 1 2 ln ⁡ x 2 - x + 2 - 7 a r c t g   2 x - 1 2 7

Assim,

∫ 2 x 2 - x x 2 - x + 2 d x = 2 x + 1 2 ln ⁡ x 2 - x + 2 - 7 a r c t g   2 x - 1 2 7

Passo 3

Assim, como

∫ ln ⁡ ( x 2 - x + 2 )   d x = x ln ⁡ ( x 2 - x + 2 ) - ∫ 2 x 2 - x x 2 - x + 2 d x

Temos que

∫ ln ⁡ ( x 2 - x + 2 )   d x = x ln ⁡ ( x 2 - x + 2 ) - 2 x - 1 2 ln ⁡ x 2 - x + 2 + 7 a r c t g   2 x - 1 2 7

Resposta

x ln ⁡ ( x 2 - x + 2 ) - 2 x - 1 2 ln ⁡ x 2 - x + 2 + 7 a r c t g   2 x - 1 2 7 + C

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