Enunciado

Use o método do Exemplo 3 para ajudar a efetuar a derivação indicada:

d y d x = l n x - 1 x + 1

Passo 1

Nesta seção, o assunto estudado é “Derivadas de Funções Logarítimicas”. Aqui, as propriedade de logaritmo devem ser usadas para converter produtos, quocientes, e expoentes em, somas, diferenças e múltiplos de constantes antes de diferenciar a função envolvendo logaritmo.

Observe a estrutura da função a ser diferenciada:

d y d x = l n x - 1 x + 1

Como a função está expressa em termos de logaritmo, usaremos as propriedades de logaritmo ao nosso favor. E aqui vamos usar duas propriedades de logaritmo importantes:

Aplicando essas propriedades na função:

d d x l n x - 1 x + 1 = d d x [ 1 2 ln ⁡ x - 1 - 1 2 . ln ⁡ x + 1 ]

d d x l n . x - 1 x + 1 = d d x 1 2 ln ⁡ x - 1 - d d x [ 1 2 ln ⁡ ( x + 1 ) ]

Calcularemos essas derivadas separadamente, chamando as subfunções de A e B :

A = d d x 1 2 ln ⁡ x - 1

B = d d x [ 1 2 ln ⁡ x + 1 ]

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a derivada A :

A = d d x 1 2 ln ⁡ x - 1

Usaremos a Regra da Cadeia, onde:

y ' = f ' u . u '

E os termos e resolvendo as derivadas:

f u = 1 2 l n ⁡ ( u )

f ' u = 1 u

u = x - 1

u ' = 1

Aplicando na Regra da Cadeia :

y ' = f ' u . u '

A ' = 1 2 u = 1 2 ( x - 1 )

Reorganizando a fórmula, temos:

A ' = 1 2 ( x - 1 )

Passo 3

Agora, vamos resolver a derivada B :

B = d d x 1 2 ln ⁡ x + 1

Usaremos a Regra da Cadeia, onde:

y ' = f ' u . u '

E os termos e resolvendo as derivadas:

f u = 1 2 l n ⁡ ( u )

f ' u = 1 u

u = x + 1

u ' = 1

Aplicando na Regra da Cadeia :

y ' = f ' u . u '

A ' = 1 2 u = 1 2 ( x + 1 )

Reorganizando a fórmula, temos:

A ' = 1 2 ( x + 1 )

Passo 4

Retornando para o foco principal do problema, a resolução da diferenciação logarítmica :

d d x l n . x - 1 x + 1 = d d x 1 2 ln ⁡ x - 1 - d d x [ 1 2 ln ⁡ ( x + 1 ) ]

d d x l n . x - 1 x + 1 = A ' - B '

d d x l n . x - 1 x + 1 = 1 2 ( x - 1 ) - 1 2 ( x + 1 )

Reorganizando por produtos notáveis, temos:

d d x l n . x - 1 x + 1 = 1 ( x - 1 ) ( x + 1 ) = 1 ( x 2 - 1 )

Resposta

d d x l n . x - 1 x + 1 = 1 ( x 2 - 1 )

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