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Use a regra de l’Hôpital para determinar o limite abaixo:

lim x → 1 ⁡ x - 1 ln ⁡ x - s e n   π x

Passo 1

Vamos aplicar a Regra de l’Hôpital. Esse teorema diz que se exitir funções tais que f a = g a = 0 , em que f e g sejam deriváveis em um certo intervalo aberto I contendo a e que g ' x ≠ 0 nesse interevalo se x ≠ a , então :

lim x → a ⁡ f x g x = lim x → a ⁡ f ' x g ' x

Para determinar

lim x → a ⁡ f x g x

pela regra de l’Hôpital você deve derivar f e g separadamente enquanto obter a forma 0/0 em x = a , ou seja, deriva o de cima e o de baixo separado (sem utulizar a forma da derivada do quociente) até não possuir mais indeterminação quando aplicar o limite.

Assim, temos que:

lim x → 1 ⁡ x - 1 ln ⁡ x - s e n   π x = lim x → 1 ⁡ 1 ( 1 x - cos ⁡ π x   ) × π = 1 π

Resposta

1 π

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