Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas) - Capítulo 4.5 - Ex. 56

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Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → ∞ x 1 / l n   x

Passo 1

Substituindo o limite, obtemos como resultado uma indeterminação do tipo ∞ 0 :

l i m x → ∞ x 1 / l n   x = ∞ 1 / ∞ = ∞ 0

Contudo, podemos reescrever o l i m de outra forma. Vamos fazer uma troca de variável onde:

y = x 1 / l n   x

Assim:

l i m x → ∞ x 1 / l n   x = l i m x → 0 + y

Passo 2

Agora iremos trabalhar mais um pouco com nossa expressão em y . Temos que:

y = x 1 / l n   x

Passando l n em ambos os lados, teremos que:

l n y = l n   x 1 / l n   x → l n y = 1 l n   x l n   x

Passo 3

Passo 4

Aplicando o l i m x → ∞ l n y   teremos que:

l i m x → ∞ l n y = l i m x → ∞ 1 l n   x l n   x    

Passo 5

Substituindo o valor no limite, teremos uma nova indeterminação do tipo ∞ ∞ :

l i m x → ∞ 1 l n   x l n   x = - 1 l n   ∞ l n   ∞ = ∞ ∞

Passo 6

Aplicando a regra de L`Hopital, teremos que:

l i m x → ∞ 1 l n   x l n   x = l i m x → e + - d d x l n   x d d x l n   x = l i m x → e + 1 x 1 x = 1

Passo 7

Substituindo o valor no limite, teremos que:

l i m x → ∞ 1 l n   x l n   x = 1

Logo:

l i m x → ∞ l n y = 1

Passo 8

Usando as seguintes propriedades:

a b = e b l n a e l i m x → w e b l n a = e l i m x → w b l n a

Então podemos reescrever a expressão l i m x → ∞ y como:

l i m x → ∞ y = l i m x → ∞ e l n y = e l i m x → 0 + l n y

Passo 9

Sabemos pelo passo 6 que:

l i m x → ∞ l n y = 1

Assim:

e l i m x → ∞ l n y = e 1

Passo 10

Resposta

l i m x → ∞ x 1 / l n   x = e

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