Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 3.3 - Ex. 31

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desse livro

(a) Use a regra do quociente para derivar a função

f x = tg ⁡ x - 1 sec ⁡ x

(b) Simplifique a expressão para f ( x ) , escrevendo-a em termos de sen ⁡ x e cos ⁡ x , e então encontre f ' ( x )

(c) Mostre que suas respostas para as partes (a) e (b) são equivalentes.

Passo 1

Item a:

Para aplicarmos a regra do quociente, devemos primeiramente saber as derivadas da tangente e da tangente:

- A derivada da tangente pode ser obtida pela regra do quociente da seguinte forma:

d d x tg ⁡ x = d d x sen ⁡ x cos ⁡ x

d d x tg ⁡ x = d d x sen ⁡ x × cos ⁡ x - sen ⁡ x × d d x cos ⁡ x cos 2 ⁡ x

d d x tg ⁡ x = cos ⁡ x × cos ⁡ x - sen ⁡ x × - sen ⁡ x cos 2 ⁡ x

d d x tg ⁡ x = cos 2 ⁡ x + sen 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x

d d x tg ⁡ x = 1 cos 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x

Passo 2

- A derivada da secante pode ser obtida pela regra do quociente da seguinte forma:

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x

d d x sec ⁡ x = d d x 1 cos ⁡ x

d d x sec ⁡ x = d d x 1 × cos ⁡ x - 1 × d d x ( cos ⁡ x ) cos 2 ⁡ x

d d x sec ⁡ x = 0 × cos ⁡ x - 1 × ( - sen ⁡ x ) cos 2 ⁡ x

d d x sec ⁡ x = sen ⁡ x cos 2 ⁡ x

d d x sec ⁡ x = sen ⁡ x cos ⁡ x × 1 cos ⁡ x

d d x sec ⁡ x = tg ⁡ x sec ⁡ x

Passo 3

Portanto, para derivarmos a função com a regra do quociente, temos:

f ' x = d d x tg ⁡ x - 1 sec ⁡ x

f ' x = d d x tg ⁡ x - 1 × sec ⁡ x - ( tg ⁡ x - 1 ) × d d x sec ⁡ x sec 2 ⁡ x

f ' x = sec 2 ⁡ x + 0 × sec ⁡ x - ( tg ⁡ x - 1 ) × ( tg ⁡ x sec ⁡ x ) sec 2 ⁡ x

f ' x = sec 3 ⁡ x - ( tg ⁡ x ( tg ⁡ x sec ⁡ x ) - 1 ( tg ⁡ x sec ⁡ x ) ) sec 2 ⁡ x

f ' x = sec 3 ⁡ x - tg 2 ⁡ x sec ⁡ x + tg ⁡ x sec ⁡ x sec 2 ⁡ x

f ' x = sec 2 ⁡ x - tg 2 ⁡ x + tg ⁡ x sec ⁡ x

f ' x = 1 + tg ⁡ x sec ⁡ x

Passo 4

Item b:

Simplificando a função temos:

f x = tg ⁡ x - 1 sec ⁡ x

f x = sen ⁡ x cos ⁡ x - 1 1 cos ⁡ x

f x = sen ⁡ x - cos ⁡ x cos ⁡ x 1 cos ⁡ x

f x = sen ⁡ x - cos ⁡ x cos ⁡ x cos ⁡ x

f x = sen ⁡ x - cos ⁡ x

Derivando temos:

f ' x = d d x sen ⁡ x - cos ⁡ x

f ' x = cos ⁡ x + sen ⁡ x

Passo 5

Item c:

Temos as seguintes equações:

(a) f ' x = 1 + tg ⁡ x sec ⁡ x

(b) f ' x = cos ⁡ x + sen ⁡ x

Se simplificarmos (a) em termos de seno e cosseno temos:

f ' x = 1 + tg ⁡ x sec ⁡ x

f ' x = 1 + sen ⁡ x cos ⁡ x 1 cos ⁡ x

f x = cos ⁡ x + sen ⁡ x cos ⁡ x 1 cos ⁡ x

f x = cos ⁡ x + sen ⁡ x

Que corresponde à relação (b). Logo, são equivalentes.

Resposta

(a) f ' x = 1 + tg ⁡ x sec ⁡ x

(b) f x = cos ⁡ x + sen ⁡ x

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