Enunciado

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Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = 8 x 2 - x 4

Passo 1

Vamos usarmos o roteiro de esboço de curvas dado na seção para esboçar o gráfico da função dada. Precisamos achar a primeira e segunda derivada para analisar crescimento e concavidade, procurar as interseções com eixos, etc...

Passo 2

Como se trata de um polinômio, o domínio é real: D f = R .

Passo 3

Vamos achar as interseções com os eixos x e y . Para o ponto que corta o eixo y , basta tomar x = 0 , assim, y = 0 . Vemos então que a curva passa pela origem ( 0,0 ) . Para as interseções com o eixo x , fazemos y = 0 , assim

8 x 2 - x 4 = 0

x 2 8 - x 2 = 0

x 2 8 - x 8 + x = 0

Assim, as raízes são x = 0 , x = ± 8 . As interseções com os eixos são 0,0 e ( ± 8 , 0 ) .

Passo 4

Note que y tem apenas expoentes pares de x , assim ela é par, sendo simétrica com relação ao eixo y .

Passo 5

Como se trata de um polinômio, y não tem assíntotas:

lim x → - ∞ ⁡ 8 x 2 - x 4 = - ∞

lim x → ∞ ⁡ 8 x 2 - x 4 = - ∞

Passo 6

Para estudarmos os intervalos de crescimento e decrescimento, precisamos derivar y :

y ' = 16 x - 4 x 3 = - 4 x   x 2 - 4 = - 4 x   ( x - 2 ) ( x + 2 )

Desta forma,

Assim, x = 0 é ponto de mínimo local e x = - 2 e x = 2 são pontos de máximo local.

Mínimo local: ( 0,0 ) ; máximo local: ( ± 2,16 ) .

Passo 7

Para a concavidade, precisamos da segunda derivada:

y ' ' = 16 - 12 x 2 = 12   16 12 - x 2 = 12   4 3 - x 4 3 + x

Assim,

Como f ± 4 / 3 = 80 / 9 , os pontos ( ± 4 / 3 , 80 / 9 ) são pontos de inflexão.

Resposta

Esboço da curva:

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