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Use séries para aproximar a integral definida com a precisão indicada.

∫ 0 1 cos ⁡ ( x 3 ) d x

(três casas decimais)

Passo 1

Para calcular a integral, vamos substituir cos ⁡ ( x 3 ) por sua série

cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n !

cos ⁡ ( x 3 ) = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 6 n 2 n !

Então, na nossa integral

∫ 0 1 cos ⁡ ( x 3 ) d x = ∫ 0 1 ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 6 n 2 n ! d x

= ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 6 n + 1 6 n + 1 2 n ! 0 1

Passo 2

Para achar a estimativa correta dentro da precisão pedida, precisamos expandir a série e acharmos o primeiro termo que seja em módulo < 0,0001 , de modo que não afeta a terceira casa decimal, então

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 6 n + 1 6 n + 1 2 n ! 0 1 = 1 - 1 14 + 1 312 - 1 13680 + …

Temos que 1 13680 = 0 , 00007 … então podemos usar só os três primeiros termos para uma aproximação com 3 casas decimais, então

∫ 0 1 cos ⁡ ( x 3 ) d x ≈ 1 - 1 14 + 1 312 = 0.93 2

Resposta

∫ 0 1 cos ⁡ ( x 3 ) d x ≈ 0.93 2

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