Enunciado

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Use o teorema do “sanduíche” para encontrar o limite.

lim x → 3 ⁡ g x ,   s e   g x + 4   < 2 3 - x 4   para todo x .

Passo 1

Pelos dados do enunciado podemos fazer a seguinte afirmação:

0 ≤ g x + 4 < 2 3 - x 4

Passo 2

Agora vamos tirar o módulo de g x + 4 e subtrair 4 em toda a expressão.

- 2 3 - x 4 < g x + 4 < 2 3 - x 4

- 2 3 - x 4 - 4 < g x < 2 3 - x 4 - 4

Passo 3

Agora apliquemos limite de x tendendo a 3 em toda a expressão e resolvemos os limites.

lim x → 3 ⁡ - 2 3 - x 4 - 4 < lim x → 3 ⁡ g x < lim x → 3 ⁡ 2 3 - x 4 - 4

- 2 3 - 3 4 - 4 < lim x → 3 ⁡ g x < 2 3 - 3 4 - 4

- 2 0 4 - 4 < lim x → 3 ⁡ g x < 2 0 4 - 4

- 4 < lim x → 3 ⁡ g x < - 4

Como lim x → 3 ⁡ - 2 3 - x 4 - 4 que é menor que lim x → 3 ⁡ g x e lim x → 3 ⁡ 2 3 - x 4 - 4 que é maior que lim x → 3 ⁡ g x convergem para - 4 , então pelo teorema do “sanduíche”   lim x → 3 ⁡ g x é igual - 4 .

Resposta

lim x → 3 ⁡ g x = - 4

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Encontre lim x → ∞ ⁡ f ( x ) se, para todo x>1 10 e x - 21 2 e x < f x < 5 x x - 1
Suponha que, para todo x , g x ≤ x 4 . Calcule lim x → 0 ⁡ g x x .
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Seja f uma função definida em R tal que para todo x ≠ 1 , - x 2 + 3 x ≤ f x < x 2 - 1 x - 1 . Calcule lim x → 1 ⁡ f x e justifique.
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Suponha que f x ≤ M para todo x , onde M é uma constante, use o teorema do “sanduíche” para provar que lim x → 0 ⁡ x 2 f x = 0
Use o teorema do “sanduíche” para encontrar o limite. lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ 1 x
Dado: 1 - cos 2 ⁡ x ≤ f x ≤ x 2 para todo x   no intervalo aberto - 1 2 π ,   1 2 π . Ache lim x → 0 ⁡ f x .
Se f x ≤ k x - a para todo x ≠ a , onde k é uma constante prove que lim x → a ⁡ f x = 0
Suponha que f x ≤ M para todo x , onde M é uma constante. Além disso, suponha que lim x → a ⁡ g x = 0 . Use o teorema do “sanduíche” para provar que lim x → a ⁡ f x g x = 0