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Use o teorema do “sanduíche” para encontrar o limite.

lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ 1 x

Passo 1

Sabemos que todos os valores de cosseno independente do ângulo permanece entre -1 e 1, então podemos fazer a seguinte afirmação:

- 1 ≤ cos ⁡ 1 x   ≤ 1

Passo 2

Agora vamos multiplicar toda a expressão por x   para termos a função dada no enunciado.

- 1 ≤ cos ⁡ 1 x   ≤ 1 ∙   x

- x ≤ x cos ⁡ 1 x   ≤ x

Passo 3

Agora apliquemos limite de x tendendo a 0 em toda a expressão e resolvemos os limites.

lim x → 0 - ⁡ x ≤ lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ 1 x ≤ lim x → 0 ⁡ x

0 ≤ lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ 1 x ≤ 0

Como lim x → 0 - ⁡ x que é menor que lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ 1 x e lim x → 0 ⁡ x que é maior que lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ 1 x convergem para 0, então pelo teorema do “sanduíche”   lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ 1 x é igual 0.

Resposta

lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ 1 x = 0

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