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Use o Teorema da Divergência para calcular a integral superfície ∬ S F . d S , ou seja, calcule o fluxo de F através de S .

F = r r ,   r = x i + y j + z k

S consiste no hemisfério z = 1 - x 2 - y 2 e o disco x 2 + y 2 ≤ 1 no plano x y .

Passo 1

Galera, o Teorema da Divergência ou Teorema de Gauss é o seguinte: se temos um região sólida E e seja S uma superfície que faz fronteira com E , orientada positivamente (para fora) e F é um mcapo vetorial cujas funções componentes tenham derivadas parciais contínuas em um região aberta que contenha E ,

∬ S F . d S = ∭ E d i v F   d V

Seja F = P i + Q j + R k . Então,

d i v F = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Vamos escrever de uma maneira mais fácil nosso campo vetorial. F é o produto do módo de r por r . O módul ode r é dado por:

r = x 2 + y 2 + z 2

Temos, então, que nosso campo vetorial é dado por F = x x 2 + y 2 + z 2 i + y x 2 + y 2 + z 2 j + z x 2 + y 2 + z 2 k . Vamos calcular o divergente dele!

d i v F = 2 x 2 + y 2 + z 2 + x 2 + 2 y 2 + z 2 + x 2 + y 2 + 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2

d i v F = 4 x 2 + 4 y 2 + 4 z 2 x 2 + y 2 + z 2 = 4 x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 = 4 x 2 + y 2 + z 2

Passo 2

Vamos aplicar agora o Teorema da Divergência! A melhor coisa que podemos fazer aqui é passar para coordenadas esféricas, para facilitar a vida da gente. Assim,

∬ S F . d S = 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 ρ 2 ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

∬ S F . d S = 4 ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π 2 sen ⁡ ϕ d ϕ ∫ 0 1 ρ 3 d ρ

∬ S F . d S = 4 θ 0 2 π - cos ⁡ ϕ 0 π / 2 ρ 4 4 0 1

∬ S F . d S = 8 π 1 4 [ - ( cos ⁡ π 2 - cos ⁡ 0 ) = 2 π

Resposta

Logo, ∬ S F . d S = 2 π

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →