Enunciado

Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície ∬ c F → ⋅ d S → ; ou seja, calcule o fluxo de F → através de S .

F → x , y , z = e x s e n y i → + e x c o s y j → + y z 2 k → , S   é a superfície da caixa delimitada pelos planos x = 0 ,   x = 1 ,   y = 0 ,   y = 1 ,   z = 0   e   z = 2 .

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos calcular o divergente do campo F → :

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x F x + ∂ ∂ y F y + ∂ ∂ z ( F z )

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x e x s e n y + ∂ ∂ y e x c o s y + ∂ ∂ z y z 2 = 2 y z

Passo 2

A região de integração é uma caixa. Assim os limites das variáveis são:

0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 1 0 ≤ z ≤ 2

E o diferencial de volume vai ser d V = d x d y d z

Agora é só colocar na integral!

Passo 3

∭ E ∇ ⋅ F → d V = ∫ 0 2 ∫ 0 1 ∫ 0 1 ( 2 y z ) d x d y d z = ∫ 0 2 ∫ 0 1 2 z y x 0 1 d y d z = ∫ 0 2 y 2 z y = 0 1 d z  

∭ E ∇ ⋅ F → d V = ∫ 0 2 z d z = z 2 2 0 2 = 4 2 = 2

∭ E ∇ ⋅ F → d V = 2

Resposta

∭ E ∇ ⋅ F → d V = 2

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