Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart - Capítulo 11.6 - Ex. 20

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Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.

20. ∑ n = 1 ∞ 2 n ! n ! 2

Passo 1

Pelo teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Podemos dizer que a série é convergente se L < 1 , e divergente se L > 1 .

Aplicando ele na sequencia da série dada, a gente fica com o seguinte limite:

L = lim n → ∞ ⁡ 2 n + 2 ! ( n + 1 ) ! 2 2 n ! n ! 2 = l i m n → ∞ 2 n + 2 ! ( n + 1 ) ! 2 n ! 2 2 n !

Tirando do módulo:

L = l i m n → ∞ 2 n + 2 ! ( n + 1 ) ! 2 n ! 2 2 n !

Passo 2

Se aplicarmos o limite agora, a gente vai ficar com uma indeterminação ∞ / ∞ , vamos então ‘abrir’ o fatorial 2 n + 2 ! uma vez:

L = l i m n → ∞ 2 n + 2 ( 2 n ) ! ( n + 1 ) ! 2 n ! 2 2 n !

Podemos então simplificar com o de baixo:

L = l i m n → ∞ 2 n + 2 ( n + 1 ) ! 2 n ! 2 1 = l i m n → ∞ 2 n + 2 n ! 2 ( n + 1 ) ! 2

Fazendo o mesmo para o fatorial de baixo:

L = l i m n → ∞ 2 n + 2 n ! 2 ( n + 1 ) n ! 2 = l i m n → ∞ 2 n + 2 n ! 2 n + 1 2 ( n ! 2

Cortando os n ! 2 :

L = l i m n → ∞ 2 n + 2 n + 1 2

E agora colocamos o n em evidência tanto no denominador quanto no numerador:

L = l i m n → ∞ n 2 + 2 n [ n 1 + 1 / n ] 2 = l i m n → ∞ n 2 + 2 n n 2 1 + 1 n 2

E então simplificamos:

L = l i m n → ∞ 2 + 2 n n 1 + 1 n 2

Como o limite da razão é a razão dos limites:

L = l i m n → ∞ 2 + 2 n l i m n → ∞ n 1 + 1 n 2

Passo 3

E agora podemos aplicar os limites, o de cima será:

l i m n → ∞ 2 + 2 n = 2

E o de baixo:

l i m n → ∞ n 1 + 1 n 2 → ∞

Então L será:

L = 0

E como L < 1 , a série é absolutamente convergente.

Resposta

C o n v e r g e n t e

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