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Utilizando o Exerc. 8, calcule

∫ 0 ∞ e - s t   f t   d t

Sendo:

  1. f t = sen ⁡ t + 3 cos ⁡ 2 t
  2. f t = 3 t + 2 e 3 t + t e t

Passo 1

  1. ∫ 0 ∞ e - s t   f t   d t = ∫ 0 ∞ e - s t sen ⁡ t + 3 cos ⁡ 2 t   d t

    Podemos separar a integral como soma de outras duas

    = ∫ 0 ∞ e - s t   sen ⁡ t   d t + 3 ∫ 0 ∞ e - s t   cos ⁡ 2 t   d t

    Vamos então usar

    ∫ 0 + ∞ e - s t sen ⁡ α t   d t = α s 2 + α 2

    ∫ 0 + ∞ e - s t cos ⁡ α t   d t = s s 2 + α 2

    Para a primeira integral α = 1 e para a segunda α = 2 , então

    ∫ 0 ∞ e - s t   sen ⁡ t   d t + 3 ∫ 0 ∞ e - s t   cos ⁡ 2 t   d t = 1 s 2 + 1 + 3 s s 2 + 4

    Passo 2

∫ 0 ∞ e - s t   f t   d t = ∫ 0 ∞ e - s t 3 t + 2 e 3 t + t e t   d t

Como no item a, vamos dividir a integral em várias

= 3 ∫ 0 ∞ e - s t   t   d t + 2 ∫ 0 ∞ e - s t   e 3 t   d t + ∫ 0 ∞ e - s t   t e t   d t

Usando então

∫ 0 + ∞ e - s t   e α t   d t = 1 s - α

∫ 0 + ∞ e - s t   t   d t = 1 s 2

∫ 0 + ∞ e - s t   t e α t   d t = 1 s - α 2

Temos

= 3 1 s 2 + 2 1 s - 3 + 1 s - 1 2

Resposta

  1. 1 s 2 + 1 + 3 s s 2 + 4

3 s 2 + 2 s - 3 + 1 s - 1 2

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →