Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart - Capítulo 14.4 - Ex. 35

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Utilize diferenciais para estimar a quantidade de estanho em uma lata cilíndrica fechada com 8   c m de diâmetro e 12   c m de altura se a espessura da folha de estanho for de 0,04   c m .

Passo 1

Para achar a quantidade de metal na lata, podemos estimar como sendo o erro do volume da lata, já que temos a medida da lata por fora, assumimos que o erro do volume é 0 , 0 4 , que é a expessura da lata, e esse erro nos dá uma aproximação para o volume de metal.

A lata é um cilindro, então podemos calcular o volume como sendo

V = π r 2 h

Temos uma função das variáveis r e h , para achar o diferencial, vamos calcular as derivadas parciais

V r = 2 π r h

V h = π r 2

Então o diferencial é

d V = 2 π r h   d r + π r 2   d h

Passo 2

Substituindo h = 12   c m e r = 4   c m , e assumindo um erro de d r = 0,04   c m e para a altura, como temos uma variação na parte de baixo da lata e outra em cima d h = 0,08

d V = 2 π ( 4 ) ( 12 ) ( 0,04 ) + π ( 4 2 ) ( 0,08 )

d V = 3,84 π + 1,28 π = 5,12 π

d V = 16,08   c m 3

Então o volume de metal na lata V m pode ser aproximado por d V

V m ≈ d V

V m ≈ 16,08   c m 3

Resposta

≈ 16,08   c m 3

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