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Utilize a equação 6 para determinar d y / d x .

arctan ⁡ ( x 2 y ) = x + x y 2

Passo 1

O exercício pede para você usar a equação 6 para achar d y / d x . Mas o que diz a equação 6?

Ela diz que se y for dado implicitamente em função de x por meio de uma equação do tipo f x , y = 0 , então

d y d x = - ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y

Neste caso é mais interessante reescrever a equação com a função tangente:

x 2 y = tan ⁡ ( x + x y 2 )

Assim, vamos tomar

f x , y = tan ⁡ ( x + x y 2 ) - x 2 y = 0

Passo 2

Tomando as derivadas parciais:

∂ f ∂ x = 1 + y 2 sec 2 ⁡ ( x + x y 2 ) - 2 x y

∂ f ∂ y = 2 x y sec 2 ⁡ ( x + x y 2 ) - x 2

Assim,

d y d x = - 1 + y 2 sec 2 ⁡ ( x + x y 2 ) - 2 x y 2 x y sec 2 ⁡ ( x + x y 2 ) - x 2

Resposta

d y d x = - 1 + y 2 sec 2 ⁡ ( x + x y 2 ) - 2 x y 2 x y sec 2 ⁡ ( x + x y 2 ) - x 2

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