Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Um vendedor vende um carro por $   18   000 . Ele também oferece para vender o mesmo carro em pagamentos de $   375 por mês durante 5 anos. Qual a taxa de juro mensal cobrada pelo vendedor?

Para resolver esse problema você necessitará da fórmula para o valor presente A de uma anuidade formada por n pagamentos iguais de tamanho R com uma taxa de juros i por período de tempo:

A = R i 1 - 1 + i - n

Substituindo i por x , mostre que

48 x 1 + x 60 - 1 + x 60 + 1 = 0

Use o método de Newton para resolver essa equação.

Passo 1

Nesse caso temos que A = 18,000 , R = 375 e n = 5 . 12 = 60 . Então a fórmula:

A = R i 1 - 1 + i - n

se torna:

18,000 = 375 x 1 - 1 + x - 60 → 48 x = 1 - 1 + x - 60

Vamos multiplicar tudo por 1 + x 60 para tirarmos aquele elevado negativo, assim ficamos com:

48 x 1 + x 60 = 1 + x 60 - 1

Pronto, vamos usar então f x = 48 x 1 + x 60 - 1 + x 60 + 1 e aplicar o método de Newton.

Passo 2

Para aplicar o método de Newton, vamos usar sua fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Vamos calcular f ' x :

f ' x = 48 x 1 + x 60 - 1 + x 60 + 1 ' = 48 1 + x 60 + 48 . x . 60 . 1 + x 60 - 1 - 60 1 + x 60 - 1 + 0 = 48 1 + x 60 + 2880 x 1 + x 59 - 60 1 + x 59

Passo 3

Vamos substituir na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n → x n + 1 = x n - 48 x n 1 + x n 60 - 1 + x n 60 + 1 48 1 + x n 60 + 2880 x n 1 + x n 59 - 60 1 + x n 59

Vamos agora analisar qual valor usar para x 1 , um valor de 1 % ao mês parece ser razoável, então vamos usar x 1 = 1 % = 0,01 :

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - 48 x 1 1 + x 1 60 - 1 + x 1 60 + 1 48 1 + x 1 60 + 2880 x 1 1 + x 1 59 - 60 1 + x 1 59 ≈ 0,0082202

Vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - 48 x 2 1 + x 2 60 - 1 + x 2 60 + 1 48 1 + x 2 60 + 2880 x 2 1 + x 2 59 - 60 1 + x 2 59 ≈ 0,0076802

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - 48 x 3 1 + x 3 60 - 1 + x 3 60 + 1 48 1 + x 3 60 + 2880 x 3 1 + x 3 59 - 60 1 + x 3 59 ≈ 0,0076291

Calma que uma hora acaba, vamos agora com x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - 48 x 4 1 + x 4 60 - 1 + x 4 60 + 1 48 1 + x 4 60 + 2880 x 4 1 + x 4 59 - 60 1 + x 4 59 ≈ 0,0076286

Agora com x 6 :

x 5 + 1 = x 6 = x 5 - 48 x 5 1 + x 5 60 - 1 + x 5 60 + 1 48 1 + x 5 60 + 2880 x 5 1 + x 5 59 - 60 1 + x 5 59 ≈ 0,0076286

Pronto, o valor não varia mais, então paramos a interpolação.

Assim, o valor da taxa de juros mensal é de 0,0076286 = 0,76286 % .

Resposta

O valor da taxa de juros mensal é de 0,0076286 = 0,76286 % .

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a derivada da função. y = 2 sen ⁡ π x
Encontre a derivada da função. y = x 2 + 1 x 2 - 1 3
Encontre a derivada da função. y = r r 2 + 1
Encontre a derivada da função. y = cos ⁡ sen ⁡ tg ⁡ π x
Encontre a derivada da função. y = x + x + x