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Verifique que y 0 x + x 0 y = 2 é a equação da reta tangente à curva x y = 1 no ponto x 0 , y 0 , x 0 > 0 . Conclua que x 0 , y 0 é o ponto médio do segmento A B , em que A e B são interseções da reta tangente, em x 0 , y 0 , com os eixos coordenados.

Passo 1

Para achar a reta tangente, podemos usar a fórmula:

y - y 0 = f ' x 0 x - x 0

Onde y 0 = f x 0 :

Para f ' x 0 , devemos primeiramente derivar implicitamente a função em relação a x , para isso, devemos lembrar que a derivada de y é f ' x , assim:

x y ' = 1 '

Pela regra do produto:

x ' ⋅ y + x ⋅ y ' = 0

1 ⋅ y + x ⋅ y ' = 0

x ⋅ y ' = - y

y ' = - y x

f ' x = - y x

Passo 2

Assim, no ponto x 0 , y 0 , temos f ' x 0 = - y 0 x 0 , de modo que se x y = 1 , temos x 0 y 0 = 1 .

Retomando a fórmula y - y 0 = f ' x 0 x - x 0 , temos:

y - y 0 = - y 0 x 0 x - x 0

y - y 0 x 0 = - y 0 x - x 0

y x 0 - x 0 y 0 = - x y 0 + x 0 y 0

y x 0 + x y 0 = 2 x 0 y 0

Se x 0 y 0 = 1 :

y x 0 + x y 0 = 2  

Logo, provamos que a reta tangente em x 0 , y 0 é dada por y x 0 + x y 0 = 2 .

Passo 3

Para concluir que que x 0 , y 0 é o ponto médio do segmento A B , em que A e B são interseções da reta tangente, em x 0 , y 0 , com os eixos coordenados, devemos encontrar A e B :

Vamos supor A a interseção com o eixo x ( y = 0 ) , então:

0 ⋅ x 0 + x y 0 = 2  

x = 2 y 0

A = 2 y 0 , 0

Agora para B a interseção com o eixo y ( x = 0 ) :

y x 0 + 0 ⋅ y 0 = 2

  y = 2 x 0

B = 0 ,   2 x 0

Vamos chamar o ponto médio entre A e B de P m e d = x m e d , y m e d , então, vamos calcular x m e d e y m e d :

x m e d = x A - x B 2 = 2 y 0 - 0 2 = 1 y 0 = x 0

(pois, se x 0 y 0 = 1 ⇒ x 0 = 1 y 0 )

E

y m e d = y A - y B 2 = 2 x 0 - 0 2 = 1 x 0 = y 0

(pois, se x 0 y 0 = 1 ⇒ y 0 = 1 x 0 )

Então:

P m e d = x m e d , y m e d = x 0 , y 0

Logo, concluímos que x 0 , y 0 é o ponto médio do segmento A B .

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