Enunciado

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Verifique a fórmula 53 na Tabela de Integrais a por derivação e b pela substituição t = a + b u .

Passo 1

Bom galera, nesse exercício estamos interessados em verificar a fórmula apresentada por dois métodos diferentes. Para isso, utilizaremos os conceitos de derivada e integral e utilizaremos também a tabela de integrais presente no final do livro.

Passo 2

( a ) Derivando em relação a u , temos

d d u 1 b 3 a + b u - a 2 a + b u - 2 a ln ⁡ a + b u + C = 1 b 3 b + b a 2 a + b u 2 - 2 a b a + b u

Podemos simplificar a expressão da seguinte maneira

1 b 3 b a + b u 2 + b a 2 - 2 a b a + b u a + b u 2 = u 2 a + b u 2

Passo 3

( b ) Iremos utilizar a seguinte substituição

t = a + b u ; d t = b   d u

∫ u 2 a + b u 2 d u = 1 b 3 ∫ t - a 2 t 2 d t

Podemos expandir a integral em

1 b 3 ∫ t - a 2 t 2 d t = 1 b 3 ∫ 1 - 2 a t + a 2 t 2 d t

Resolvendo a integral, temos

1 b 3 ∫ 1 - 2 a t + a 2 t 2 d t = 1 b 3 a + b u - a 2 a + b u - 2 a ln ⁡ a + b u + C

Resposta

Como a derivada e a integral da fórmula condizem, então a fórmula condiz com o que é esperado e desejamos provar.

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