Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas) - Capítulo 4.8 - Ex. 82

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Verifique a fórmula abaixo por meio da diferenciação.

∫ sen - 1 ⁡ x 2 d x = x sen - 1 ⁡ x 2 - 2 x + 2 1 - x 2 sen - 1 ⁡ x + C

Passo 1

Como a integral e a derivada são operações inversas, podemos verificar se uma é solução da outra aplicando sua operação inversa. Derivaremos a resposta dada para verificar se realmente é a solução da integral.

Passo 2

Derivaremos a solução dada usando regra da cadeia, do produto e de funções trigonométricas inversas. Teremos:

1 × sen - 1 ⁡ x 2 + x × 2   ( sen - 1 ⁡ x ) × 1 1 - x 2 - 2 + 2 × - 2 x 2 1 - x 2 sen - 1 ⁡ x + 2 1 - x 2 1 - x 2

Isso não é nem de longe a expressão simplificada que pediram para integrar. Vamos simplifica-la passo a passo.

sen - 1 ⁡ x 2 + 2 x sen - 1 ⁡ x 1 - x 2 - 2 + - 2 x ( sen - 1 ⁡ x ) 1 - x 2 + 2

sen - 1 ⁡ x 2 + 2 x sen - 1 ⁡ x 1 - x 2 - 2 - 2 x ( sen - 1 ⁡ x ) 1 - x 2 + 2

sen - 1 ⁡ x 2 + 2 x sen - 1 ⁡ x 1 - x 2 - 2 x ( sen - 1 ⁡ x ) 1 - x 2

sen - 1 ⁡ x 2

Resposta

A resposta foi encontrada para a solução dada.

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