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Verifique se a integral imprópria converge. Em caso positivo, determine seu valor.

∫ 1 + ∞ d x x x 2 + 4

Passo 1

Aqui temos que a integral é igual ao limite:

∫ 1 + ∞ d x x x 2 + 4 = lim b → + ∞ ⁡ ∫ 1 b d x x x 2 + 4

Então vamos lá, a integral imprópria converge se esse limite existir, e diverge se não existir, para saber isso vamos calcular essa integral e depois aplicar no limite.

Passo 2

Vamos calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ d x x x 2 + 4

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma x 2 + a 2 , nesse formato de expressão vamos fazer x = a tg ⁡ θ e utilizar a identidade trigonométrica 1 + tg 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ :

x = 2 tg ⁡ θ

d x = 2 sec 2 ⁡ θ d θ

Substituindo temos:

∫ d x x x 2 + 4 = ∫ 1 2 tg ⁡ θ 4 tg 2 ⁡ θ + 4 2 sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ 1 tg ⁡ θ 4 tg 2 ⁡ θ + 1 sec 2 ⁡ θ d θ

Agora usando a identidade trigonométrica:

∫ 1 tg ⁡ θ 4 tg 2 ⁡ θ + 1 sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ 1 tg ⁡ θ 4 sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ 1 tg ⁡ θ 2 sec ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ =

= ∫ sec ⁡ θ 2 tg ⁡ θ d θ = 1 2 ∫ 1 cos ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = 1 2 ∫ 1 cos ⁡ θ ⋅ cos ⁡ θ sen ⁡ θ d θ = 1 2 ∫ 1 sen ⁡ θ d θ = 1 2 ∫ cosec ⁡ θ d θ

Passo 3

É fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ cosec ⁡ x d x = ln ⁡ cosec ⁡ x - cotg ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

1 2 ∫ cosec ⁡ θ d θ = 1 2 ln ⁡ cosec ⁡ x - cotg ⁡ x + C

Agora vamos juntar tudo:

∫ d x x x 2 + 4 = 1 2 ∫ cosec ⁡ θ d θ = 1 2 ln ⁡ cosec ⁡ x - cotg ⁡ x + C

Passo 4

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original x , temos que x = 2 tg ⁡ θ , ou seja, tg ⁡ θ = x 2 , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo para achar cosec ⁡ θ :

Assim os valores de c osec ⁡ θ e cotg ⁡ θ são:

cosec ⁡ θ = 1 s en ⁡ θ = 1 x 4 + x 2 = 4 + x 2 x

cotg ⁡ θ = 1 tg ⁡ θ = 1 x 2 = 2 x

Pronto, ficamos então com:

∫ d x x x 2 + 4 = 1 2 ln ⁡ cosec ⁡ x - cotg ⁡ x + C = 1 2 ln ⁡ 4 + x 2 x - 2 x + C

Passo 5

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Agora vamos voltar ao limite:

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 1 b d x x x 2 + 4 = lim b → + ∞ ⁡ 1 2 ln ⁡ 4 + x 2 x - 2 x 1 b =

= lim b → + ∞ ⁡ 1 2 ln ⁡ 4 + b 2 b - 2 b - 1 2 ln ⁡ 4 + 1 2 1 - 2 1 = lim b → + ∞ ⁡ 1 2 ln ⁡ 4 + b 2 b 2 - 2 b - 1 2 ln ⁡ 5 - 2 =

= 1 2 ⋅ 0 - 1 2 ln ⁡ 5 - 2 = - 1 2 ln ⁡ 5 - 2

Pronto, o limite existe, então a integral converge e tem como resultado - 1 2 ln ⁡ 5 - 2 .

Resposta

A integral converge e tem como resultado - 1 2 ln ⁡ 5 - 2

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