Enunciado

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Verifique que a mudança de variável u = y - x transforma a equação d y d x = y - x 2 na de variáveis separáveis d u d x = u 2 - 1 . Deterrmine, então, soluções da primeira equação.

Passo 1

Vamos substituir:

d y d x = y - x 2 → d u + x d x = u 2

Passo 2

Se sabemos que u = y - x → y = u + x , assim:

d u + x d x = d u d x + 1

Substituindo:

d u + x d x = d u d x + 1 = u 2 → d u d x = u 2 - 1

Passo 3

Essa equação parece mais propícia pra integrar do que a inicial que tinha soma de variáveis diferentes, agora que temos multiplicações entre diferentes variáveis vamos fazer assim:

d u d x = u 2 - 1

Jogamos pra cada lado o que é referente a cada variável:

d u u 2 - 1 = d x

Agora é só integrar:

∫ d u u 2 - 1 = ∫ d x

∫ d u u - 1 u + 1 = ∫ d x

Vamos ter que fazer por frações parciais:

1 u - 1 u + 1 = A u - 1 + B u + 1

1 = A u + 1 + B u - 1

Se usarmos u = 1 :

1 = A 1 + 1 + B 1 - 1 → 1 = 2 A → A = 1 2

Se usarmos u = - 1

1 = A - 1 + 1 + B - 1 - 1 → 1 = - 2 B → B = - 1 2

∫ A u - 1 + B u + 1 d u = 1 2 ∫ 1 u - 1 d u - 1 2 ∫ 1 u + 1 d u

1 2 ∫ 1 u - 1 d u - 1 2 ∫ 1 u + 1 d u = 1 2 ln ⁡ u - 1 - 1 2 ln ⁡ u + 1 + c 1

ln ⁡ u - 1 1 2 u + 1 1 2 + c 1 = ln ⁡ u - 1 u + 1 1 2   + c 1

ln ⁡ u - 1 u + 1 1 2   + c 1 = x + c 2

Para tirar essa soma, vamos fazer que   ln ⁡ k = c 1 - c 2  

ln ⁡ u - 1 u + 1 1 2 + ln ⁡ k = x

Voltando pra variável y :

ln ⁡ k y - x - 1 y - x + 1 1 2 = x

k y - x - 1 y - x + 1 1 2 = e x

y - x - 1 y - x + 1 1 2 = e x k

y - x - 1 y - x + 1 = e x k 1 2

y y - x + 1 = e x k 1 2 + x - 1 y - x + 1

y = e x k 1 2 + x - 1 y - x + 1 y - x + 1

y = e x k 1 2 y - x + 1 + x + 1

y = y e x k 1 2 - e x k 1 2 x + 1 + x + 1

y - y e x k 1 2 = - e x k 1 2 x + 1 + x + 1

y 1 - e x k 1 2 = - e x k 1 2 x + 1 + x + 1

y = 1 1 - e x k 1 2 - e x k 1 2 x + 1 + x + 1

Resposta

y = 1 1 - e x k 1 2 - e x k 1 2 x + 1 + x + 1

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