Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.8 - Ex. 15
Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial e superfície .
é o hemisfério , orientado na direção positiva do eixo .
Passo 1
Inicialmente, vamos calcular . A fronteira de é o círculo com a seguinte representação paramétrica:
Dado que o campo vetorial é
Substituindo os valores de no campo vetorial, temos:
Passo 2
Vamos calcular essa integral!
Usando a simplificação trigonométrica ,
Passo 3
Note que podemos usar a formula, quando :
onde . No entanto, a fórmula é usada quando a superfície é orientada para cima, ao invés de orientada para baixo. Logo, a nossa resposta precisa de um sinal negativo! Vamos calcular as derivadas parciais de
Assim,
A região é a projeção a superfície no plano . No nosso caso, é a região dentro da circunferência . Em coordenadas polares, temos:
Assim, o teorema de Stokes é verificado!
Resposta
É verdadeiro!
Exercícios de Livros Relacionados
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais