Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.6 - Ex. 22
Se você tentar utilizar a Fórmula para determinar a área do topo superior da esfera , terá problemas, porque a integral dupla é impropria. De fato, o integrando tem uma descontinuidade infinita em todo ponto da fronteira circular . Entretanto, a integral pode ser calculada sobre o disco com . Utilize este método para mostrar que a área de uma esfera de raio a é .
Passo 1
Pela equação do capítulo, temos que
Toda transformação de sistema de coordenada, requer que calculemos o jacobiano, definido como
Onde são as coordenadas do novo sistema.
Passo 2
Rescrevendo nossa , ficamos com
Assim temos que
e
Usando coordenadas cilindrícas podemos escrever
Como é nosso círculo que define nossos limites, temos
E que
Onde o jacobiano em coordenadas cilíndricas é .
Fazendo
Logo temos
Entrento devemos perceber que só foi valida essa resolução para toda a superfície acima do plano . Logo a área da esfera é dado por
Resposta
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