Método de Varia��ão dos Parâmetros

Teoria Completa

Introdução

A resolução pelo método de variação dos parâmetros é um método para resolver sistemas não homogêneos. O método consiste em: resolver o sistema homogêneo associado pelo método matricial e, depois, utilizar a variação de parâmetros para encontrar a solução particular.

Vamos rever o método matricial e depois ver o método para achar a solução particular.

Método Matricial

Aqui a primeira coisa a fazer é você escrever o sistema da forma matricial, mas como fazemos isso? Vamos ver primeiro o exemplo embaixo

x ' = x + 4 y y ' = x + y

Repara que de um lado temos só derivada e do outro só função linear.

Começamos fazendo

X = x t y t

Repara que

X ' = x ' t y ' t

Para escrever na forma matricial o sistema deve ficar assim

X ' = A X

Essa matriz A é dos coeficientes do sistema, naquele exemplo que dei vamos ter

A = 1 4 1 1

E o sistema vai ser

x ' t y ' t = 1 4 1 1 x t y t

Beleza?

Agora é que são elas!! Tendo essa matriz A podemos resolver o sistema.

Vamos usar um pouco de álgebra linear aqui.

Primeiro, vamos achar os autovalores de A e chamar de λ 1 , λ 2 . Depois vamos achar os autoespaços associados a A e chamar de v 1 , v 2

Temos 3 possibilidades para esses autovalores e autoespaçoes associados. A resposta consiste em dois vetores x 1 e x 2 , vamos ver como eles ficam em cada caso.

Autovalores Reais diferentes λ 1 ≠ λ 2

As funções vão ficar

x 1 = v 1 e λ 1 t

x 2 = v 2 e λ 2 t

Autovalores Reais 2 iguais λ 1 = λ 2

Aqui temos que achar o autovetor normalmente com a fórmula

A - λ 1 I v 1 = 0

Depois achar o vetor v 2 , para isso basta resolver a equação

A - λ 2 I v 2 = v 1

E as soluções vão ser

x 1 = v 1 e λ 1 t

x 2 = v 1 t e λ 2 t + v 2 e λ 2 t  

Com

A - λ 2 I v 2 = v 1

Autovalores Complexos

Os autovalores complexos têm essa forma

λ 1 = a + b i , λ 2 = a - b i

Os autovetores associado aos autovalores complexos são

v 1 = a → + b → i

v 2 = a → - b → i

Eu coloquei essa setinha em cima para mostrar que isso são vetores, no autovalor não são vetores, são escalares mesmo.

As soluções vão ser

x 1 = e a t a → cos ⁡ b t - b → sen ⁡ b t

x 2 = e a t a → sen ⁡ b t + b → cos ⁡ b t

Solução geral

Vimos em cada caso como fica cada uma das soluções, porque isso tudo? Porque a solução geral vai ser

X = c 1 x 1 + c 2 x 2

Então tudo se resume a achar essas funções. Se você não está muito confiante, volta lá no sistema homogêneo.

Método da Variação dos Parâmetros

Como é o sistema não homogêneo? Vamos ver um exemplo

x ' = x + y + 2 e - t y ' = 4 x + y + 3 e t

Repara que temos uma função de t ali, dessa vez a forma geral do sistema vai ser

X ' = A X + g t

Então a função com t vai ser g t , neste caso, vamos ter

g t = 2 e - t 3 e t

Belezinha? Até aí nenhum problema né? Onde vai entrar a diferença?

Primeiro vamos precisamos resolver o sistema equivalente homogêneo, que seria aquele ignorando g t . Já resolvemos né? É o exercício beeem parecido com o que resolvemos no início do capítulo, que tal você fazer esse? A homogênea fica assim:

x ' = x + y y ' = 4 x + y

Vamos ter

x 1 =   1 2 e 3 t

x 2 =   1 - 2 e - t

Com as duas soluções temos o que chamamos de matriz fundamental.

ψ t = x 1 x 2

Isso é uma matriz 2 × 2 tá? A primeira coluna vai ser x 1 e a segunda coluna vai ser x 2 . Como vai ficar essa matriz então?

ψ t = e 3 t e - t 2 e 3 t - 2 e - t

Agora vamos usar o método da variação dos parâmetros para resolver a parte não homogênea. Primeiro vamos definir uma função u t , tal que a solução do sistema de EDO seja:

X t = ψ t ⋅ u t

Onde:

u t = u 1 t u 2 t

Agora vamos calcular esse rapazola de tal forma que ele vai ser solução de uma equação:

u ' t = ψ t - 1 . g t

Sim, parece um bizu místico, mas tem como deduzir isso, a demonstração é um bucado densa porque tem essa representação matricial então vamos voar direto pra resolução, ok?

Esse é o método da variação de parâmetro sim, mas a cara é diferente porque a abordagem tem que ser matricial, as contas são mais diretas apesar de serem levemente maiores. Mas calma, já já vamos entender onde esse u vai ajudar a gente a resolver isso!

Agora vamos precisar fazer a inversa de ψ - 1 t , lembra que para inverter uma matriz 2 x 2 vai ser

a b c d - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Podemos fazer isso rapidinho. Aquele a d - b c é o determinante da matriz

ψ t - 1 = e - 3 t 2 e - 3 t 4 e t 2 - e t 4

Voltando para a equação de u t , temos

u ' t = e - 3 t 2 e - 3 t 4 e t 2 - e t 4 . 2 e - t 3 e t = e - 4 t + 3 4 e - 2 t e 0 - 3 4 e 2 t = e - 4 t + 3 4 e - 2 t 1 - 3 4 e 2 t

Integrando cada componente desse vetor vamos ter

u t = e - 4 t - 4 + 3 4 e - 2 t - 2 + C 1 t - 3 4 e 2 t 2 + C 2 = - e - 4 t 4 - 3 e - 2 t 8 + C 1 t - 3 8 e 2 t + C 2

Ufa, conta a vera isso. Esses sistemas tem muita conta de matriz. Começa a se habituar, porque vai dar um trabalhinho mas sei que você consegue fique tranquilo

A solução vai ser

X t = ψ t ⋅ u t

X t = e 3 t e - t 2 e 3 t - 2 e - t - e - 4 t 4 - 3 e - 2 t 8 + C 1 t - 3 8 e 2 t + C 2

X t = - e - t 4 - 3 e t 8 + C 1 e 3 t + t e - t - 3 8 e t + C 2 e - t - 2 e - t 4 - 3.2 e t 8 + 2 C 1 e 3 t - 2 t e - t + 3.2 8 e t - 2 C 2 e - t

X t = - e - t 4 - 3 e t 8 + C 1 e 3 t + t e - t - 3 8 e t + C 2 e - t - e - t 2 - 3 e t 4 + 2 C 1 e 3 t - 2 t e - t + 3 4 e t - 2 C 2 e - t

Pronto essa é nossa resposta. Gigante, mas relaxa que o passo a passo é de boa, vamos relembrá-lo?

Passo 1: Encontrar g t

Passo 2: Resolver a EDO homogênea equivalente

Passo 3: Achar a matriz fundamental

ψ t = x 1 x 2

Passo 4: Inverter a matriz fundamental

Passo 5: Achar o valor de u t pela equação

u ' t = ψ t - 1 . g t

Passo 6:Encontrar a solução da EDO não homogênea fazendo

X t = ψ t ⋅ u t

“pronto”, De boa? Partiu exercícios

Expandir

Exercício Resolvido #1

UNICAMP, Cálculo 3, Exame 2012, Questão 3

Encontre a solução geral do sistema linear não-homogêneo utilizando o método da variação de parâmetros:

x ' = 1 1 4 - 2 x + e - 2 t e t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiramente, vamos identificar os termos do sistema de edo’s x ' t = A . x t + g ( t ) :

A = 1 1 4 - 2

g t = e - 2 t e t

Assim, começamos pelo sistema homogêneo, encontrando os autovalores e autovetores de A :

det ⁡ A - λ I = 0

det ⁡ 1 - λ 1 4 - 2 - λ = 0

- 2 - λ + 2 λ + λ 2 - 4 = 0

λ 2 + λ - 6 = 0

λ + 3 λ - 2 = 0

Portanto:

λ 1 = - 3     e     λ 2 = 2

Passo 2

Vamos, agora, obter os autovetores correspondentes aos autovalores.

  • Para λ 1 = - 3 :
  • A equação do autovetor diz que A v = λ v . Então vamos fazer assim, vamos chamar de v 1 = a b o autovetor associado ao autovalor λ 1 .

    A v 1 = λ 1 v 1

    A - λ 1 I v 1 = 0

    1 - ( - 3 ) 1 4 - 2 - ( - 3 ) a b = 0 0

    4 1 4 1 a b = 0 0

    Isso nos dá que b = - 4 a . Então, com a = 1 , por exemplo, temos:

    v 1 = a b = 1 - 4

    Passo 3

  • Para λ 2 = 2 :

O procedimento é semelhante:

A - λ 2 I v 2 = 0

1 - 2 1 4 - 2 - 2 c d = 0 0

- 1 1 4 - 4 c d = 0 0

E, assim, obtemos que c = d . Logo,

v 2 = c d = 1 1