Método de Varia��ão dos Parâmetros

Teoria Completa

Introdução

A resolução pelo método de variação dos parâmetros é um método para resolver sistemas não homogêneos. O método consiste em: resolver o sistema homogêneo associado pelo método matricial e, depois, utilizar a variação de parâmetros para encontrar a solução particular.

Vamos rever o método matricial e depois ver o método para achar a solução particular.

Método Matricial

Aqui a primeira coisa a fazer é você escrever o sistema da forma matricial, mas como fazemos isso? Vamos ver primeiro o exemplo embaixo

x ' = x + 4 y y ' = x + y

Repara que de um lado temos só derivada e do outro só função linear.

Começamos fazendo

X = x t y t

Repara que

X ' = x ' t y ' t

Para escrever na forma matricial o sistema deve ficar assim

X ' = A X

Essa matriz A é dos coeficientes do sistema, naquele exemplo que dei vamos ter

A = 1 4 1 1

E o sistema vai ser

x ' t y ' t = 1 4 1 1 x t y t

Beleza?

Agora é que são elas!! Tendo essa matriz A podemos resolver o sistema.

Vamos usar um pouco de álgebra linear aqui.

Primeiro, vamos achar os autovalores de A e chamar de λ 1 , λ 2 . Depois vamos achar os autoespaços associados a A e chamar de v 1 , v 2

Temos 3 possibilidades para esses autovalores e autoespaçoes associados. A resposta consiste em dois vetores x 1 e x 2 , vamos ver como eles ficam em cada caso.

Autovalores Reais diferentes λ 1 ≠ λ 2

As funções vão ficar

x 1 = v 1 e λ 1 t

x 2 = v 2 e λ 2 t

Autovalores Reais 2 iguais λ 1 = λ 2

Aqui temos que achar o autovetor normalmente com a fórmula

A - λ 1 I v 1 = 0

Depois achar o vetor v 2 , para isso basta resolver a equação

A - λ 2 I v 2 = v 1

E as soluções vão ser

x 1 = v 1 e λ 1 t

x 2 = v 1 t e λ 2 t + v 2 e λ 2 t  

Com

A - λ 2 I v 2 = v 1

Autovalores Complexos

Os autovalores complexos têm essa forma

λ 1 = a + b i , λ 2 = a - b i

Os autovetores associado aos autovalores complexos são

v 1 = a → + b → i

v 2 = a → - b → i

Eu coloquei essa setinha em cima para mostrar que isso são vetores, no autovalor não são vetores, são escalares mesmo.

As soluções vão ser

x 1 = e a t a → cos ⁡ b t - b → sen ⁡ b t

x 2 = e a t a → sen ⁡ b t + b → cos ⁡ b t

Solução geral

Vimos em cada caso como fica cada uma das soluções, porque isso tudo? Porque a solução geral vai ser

X = c 1 x 1 + c 2 x 2

Então tudo se resume a achar essas funções. Se você não está muito confiante, volta lá no sistema homogêneo.

Método da Variação dos Parâmetros

Como é o sistema não homogêneo? Vamos ver um exemplo

x ' = x + y + 2 e - t y ' = 4 x + y + 3 e t

Repara que temos uma função de t ali, dessa vez a forma geral do sistema vai ser

X ' = A X + g t

Então a função com t vai ser g t , neste caso, vamos ter

g t = 2 e - t 3 e t

Belezinha? Até aí nenhum problema né? Onde vai entrar a diferença?

Primeiro vamos precisamos resolver o sistema equivalente homogêneo, que seria aquele ignorando g t . Já resolvemos né? É o exercício beeem parecido com o que resolvemos no início do capítulo, que tal você fazer esse? A homogênea fica assim:

x ' = x + y y ' = 4 x + y

Vamos ter

x 1 =   1 2 e 3 t

x 2 =   1 - 2 e - t

Com as duas soluções temos o que chamamos de matriz fundamental.

ψ t = x 1 x 2

Isso é uma matriz 2 × 2 tá? A primeira coluna vai ser x 1 e a segunda coluna vai ser x 2 . Como vai ficar essa matriz então?

ψ t = e 3 t e - t 2 e 3 t - 2 e - t

Agora vamos usar o método da variação dos parâmetros para resolver a parte não homogênea. Primeiro vamos definir uma função u t , tal que a solução do sistema de EDO seja:

X t = ψ t ⋅ u t

Onde:

u t = u 1 t u 2 t

Agora vamos calcular esse rapazola de tal forma que ele vai ser solução de uma equação:

u ' t = ψ t - 1 . g t

Sim, parece um bizu místico, mas tem como deduzir isso, a demonstração é um bucado densa porque tem essa representação matricial então vamos voar direto pra resolução, ok?

Esse é o método da variação de parâmetro sim, mas a cara é diferente porque a abordagem tem que ser matricial, as contas são mais diretas apesar de serem levemente maiores. Mas calma, já já vamos entender onde esse u vai ajudar a gente a resolver isso!

Agora vamos precisar fazer a inversa de ψ - 1 t , lembra que para inverter uma matriz 2 x 2 vai ser

a b c d - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Podemos fazer isso rapidinho. Aquele a d - b c é o determinante da matriz

ψ t - 1 = e - 3 t 2 e - 3 t 4 e t 2 - e t 4

Voltando para a equação de u t , temos

u ' t = e - 3 t 2 e - 3 t 4 e t 2 - e t 4 . 2 e - t 3 e t = e - 4 t + 3 4 e - 2 t e 0 - 3 4 e 2 t = e - 4 t + 3 4 e - 2 t 1 - 3 4 e 2 t

Integrando cada componente desse vetor vamos ter

u t = e - 4 t - 4 + 3 4 e - 2 t - 2 + C 1 t - 3 4 e 2 t 2 + C 2 = - e - 4 t 4 - 3 e - 2 t 8 + C 1 t - 3 8 e 2 t + C 2

Ufa, conta a vera isso. Esses sistemas tem muita conta de matriz. Começa a se habituar, porque vai dar um trabalhinho mas sei que você consegue fique tranquilo

A solução vai ser

X t = ψ t ⋅ u t

X t = e 3 t e - t 2 e 3 t - 2 e - t - e - 4 t 4 - 3 e - 2 t 8 + C 1 t - 3 8 e 2 t + C 2

X t = - e - t 4 - 3 e t 8 + C 1 e 3 t + t e - t - 3 8 e t + C 2 e - t - 2 e - t 4 - 3.2 e t 8 + 2 C 1 e 3 t - 2 t e - t + 3.2 8 e t - 2 C 2 e - t

X t = - e - t 4 - 3 e t 8 + C 1 e 3 t + t e - t - 3 8 e t + C 2 e - t - e - t 2 - 3 e t 4 + 2 C 1 e 3 t - 2 t e - t + 3 4 e t - 2 C 2 e - t

Pronto essa é nossa resposta. Gigante, mas relaxa que o passo a passo é de boa, vamos relembrá-lo?

Passo 1: Encontrar g t

Passo 2: Resolver a EDO homogênea equivalente

Passo 3: Achar a matriz fundamental

ψ t = x 1 x 2

Passo 4: Inverter a matriz fundamental

Passo 5: Achar o valor de u t pela equação

u ' t = ψ t - 1 . g t

Passo 6:Encontrar a solução da EDO não homogênea fazendo

X t = ψ t ⋅ u t

“pronto”, De boa? Partiu exercícios

Expandir

Exercício Resolvido #1

UNICAMP, Cálculo 3, Exame 2012, Questão 3

Encontre a solução geral do sistema linear não-homogêneo utilizando o método da variação de parâmetros:

x ' = 1 1 4 - 2 x + e - 2 t e t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiramente, vamos identificar os termos do sistema de edo’s x ' t = A . x t + g ( t ) :

A = 1 1 4 - 2

g t = e - 2 t e t

Assim, começamos pelo sistema homogêneo, encontrando os autovalores e autovetores de A :

det ⁡ A - λ I = 0

det ⁡ 1 - λ 1 4 - 2 - λ = 0

- 2 - λ + 2 λ + λ 2 - 4 = 0

λ 2 + λ - 6 = 0

λ + 3 λ - 2 = 0

Portanto:

λ 1 = - 3     e     λ 2 = 2

Passo 2

Vamos, agora, obter os autovetores correspondentes aos autovalores.

  • Para λ 1 = - 3 :
  • A equação do autovetor diz que A v = λ v . Então vamos fazer assim, vamos chamar de v 1 = a b o autovetor associado ao autovalor λ 1 .

    A v 1 = λ 1 v 1

    A - λ 1 I v 1 = 0

    1 - ( - 3 ) 1 4 - 2 - ( - 3 ) a b = 0 0

    4 1 4 1 a b = 0 0

    Isso nos dá que b = - 4 a . Então, com a = 1 , por exemplo, temos:

    v 1 = a b = 1 - 4

    Passo 3

  • Para λ 2 = 2 :

O procedimento é semelhante:

A - λ 2 I v 2 = 0

1 - 2 1 4 - 2 - 2 c d = 0 0

- 1 1 4 - 4 c d = 0 0

E, assim, obtemos que c = d . Logo,

v 2 = c d = 1 1

Passo 3

O conjunto fundamental de soluções, então, é dado por:

x ( 1 ) = v 1 e λ 1 t = 1 - 4 e - 3 t

x ( 2 ) = v 2 e λ 2 t = 1 1 e 2 t

Passo 4

Para acharmos a solução geral do problema, vamos usar o método da variação de parâmetros. Para isso, definimos uma função U ( t ) , tal que a solução do sistema seja

x t = Ψ t U ( t )

onde

U t = u 1 ( t ) u 2 ( t )

Desta forma, nosso problema se restringe a resolver a equação

Ψ t U ' ( t ) = g ( t )

U ' ( t ) = Ψ - 1 ( t ) g ( t )

Passo 5

Beleza, mas quem é a matriz fundamental Ψ ( t ) ? Fácil, olha ela aí!

Ψ t = x ( 1 ) x ( 2 )

Ψ t = e - 3 t e 2 t - 4 e - 3 t e 2 t

Substituindo Ψ t = e - 3 t e 2 t - 4 e - 3 t e 2 t e g t = e - 2 t e t , obtemos:

u 1 ' u 2 ' = e - 3 t e 2 t - 4 e - 3 t e 2 t - 1 e - 2 t e t

Passo 6

Para a inversa, temos:

e - 3 t e 2 t - 4 e - 3 t e 2 t - 1 = 1 5 e - t e 2 t - e 2 t 4 e - 3 t e - 3 t  

e - 3 t e 2 t - 4 e - 3 t e 2 t - 1 = 1 5 e 3 t - 1 5 e 3 t 4 5 e - 2 t 1 5 e - 2 t  

Assim, o sistema se torna

u 1 ' u 2 ' = 1 5 e 3 t - 1 5 e 3 t 4 5 e - 2 t 1 5 e - 2 t e - 2 t e t

u 1 ' = 1 5 e t - 1 5 e 4 t     ( I ) u 2 ' = 4 5 e - 4 t + 1 5 e - t       ( I I )

Passo 7

Resolvendo ( I ) e ( I I ) :

u 1 = ∫       1 5 e t - 1 5 e 4 t d t → u 1 = 1 5 e t - 1 20 e 4 t + C 1

u 2 = ∫       4 5 e - 4 t + 1 5 e - t d t → u 2 = - 1 5 e - 4 t - 1 5 e - t + C 2

Logo:

U t = 1 5 e t - 1 20 e 4 t + C 1 - 1 5 e - 4 t - 1 5 e - t + C 2

Passo 8

Portanto,

x t = Ψ t U ( t )

x t = e - 3 t e 2 t - 4 e - 3 t e 2 t 1 5 e t - 1 20 e 4 t + C 1 - 1 5 e - 4 t - 1 5 e - t + C 2

x t = 1 5 e - 2 t - 1 20 e t + C 1 e - 3 t - 1 5 e - 2 t - 1 5 e t + C 2 e 2 t - 4 5 e - 2 t + 1 5 e t - 4 C 1 e - 3 t - 1 5 e - 2 t - 1 5 e t + C 2 e 2 t

x t = - 1 4 e t + C 1 e - 3 t + C 2 e 2 t - e - 2 t - 4 C 1 e - 3 t + C 2 e 2 t

Resposta

x t = - 1 4 e t + C 1 e - 3 t + C 2 e 2 t - e - 2 t - 4 C 1 e - 3 t + C 2 e 2 t

Exercício Resolvido #2

UNICAMP, Cálculo 3, P2 2011.1, Professor Santos, Questão 3

Considere o sistema

x 1 ' = - 3 2 x 1 + x 2 + 2 t   e - t x 2 ' = - 1 4 x 1 - 1 2 x 2 + e - t

( a ) Escreva a solução geral do sistema homogêneo associado na forma x t = Ψ t C onde Ψ ( t ) é uma matriz 2 × 2 e C = c 1 c 2 .

( b ) Resolva o sistema linear algébrico Ψ t U ' t = g ( t ) para U t = u 1 ( t ) u 2 ( t ) onde g t = 2 t   e - t e - t e encontre uma solução particular do sistema.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

( a ) O sistema dado é um sistema não-linear homogêneo x ' = A x + g ( t ) , com

A = - 3 2 1 - 1 4 - 1 2 ,     g = 2 t e - t e - t ,     x = x 1 x 2

Passo 2

Vamos começar buscando os autovalores de A :

det ⁡ A - λ I = 0

- 3 2 - λ 1 - 1 4 - 1 2 - λ = 0

- 3 2 - λ - 1 2 - λ + 1 4 = 0

λ 2 + 2 λ + 1 = 0

λ + 1 2 = 0

λ 1,2 = - 1

O autovalor λ = - 1 é repetido, com multiplicidade dois.

Passo 3

Agora, vamos avaliar os autovetores correspondentes:

  ⁡ A - λ I v = 0

- 3 2 - ( - 1 ) 1 - 1 4 - 1 2 - ( - 1 ) a b = 0 0

- 1 2 a + b = 0

b = 1 2 a

Logo, os autovetores (associados ao único autovalor λ = - 1 ) são da forma

v 1 = a b = a 1 2 a = a 1 1 2 ,   a ∈ R

Passo 4

Beleza, agora já podemos achar a primeira solução do sistema linear homogêneo associado, x ' = A x . Fazendo a = 2 , temos v 1 = 2 1 .

x 1 = e - t v 1

x 1 = e - t 2 1 = 2 e - t e - t

Passo 5

Para achar a solução linearmente independente de x ( 1 ) (chamaremos de x ( 2 ) ) , vamos calcular v 2 :

  ⁡ A - λ I v 2 = v 1

- 3 2 - ( - 1 ) 1 - 1 4 - 1 2 - ( - 1 ) a b = 2 1

- 1 2 a + b = 2 - 1 4 a + 1 2 b = 1

b = 2 + 1 2 a

Se a = 0 , então b = 2 e v 2 = 0 2 . Portanto,

x ( 2 ) = t e - t v 1 + e - t v 2

x ( 2 ) = t e - t 2 1 + e - t 0 2

x ( 2 ) = 2 t e - t ( 2 + t ) e - t

Passo 6

Vamos montar, então, a matriz fundamental:

Ψ t = x 1     x 2

Ψ t = 2 e - t 2 t e - t e - t ( 2 + t ) e - t

Assim, a solução geral do sistema homogêneo é:

x = c 1 x ( 1 ) + c 2 x ( 2 )       ( c 1 ,   c 2 ∈ R )

x = x 1     x 2 c 1 c 2

x = Ψ t C

Com Ψ t dado acima e C = c 1 c 2 :

x = 2 e - t 2 t e - t e - t ( 2 + t ) e - t c 1 c 2

Passo 7

( b ) Para resolver o sistema linear não-homogêneo, fazemos Ψ t U ' t = g ( t ) , com U t = u 1 ( t ) u 2 ( t ) e g t = 2 t   e - t e - t .

2 e - t 2 t e - t e - t ( 2 + t ) e - t u 1 ' u 2 ' = 2 t   e - t e - t

e - t 2 2 t 1 2 + t u 1 ' u 2 ' = e - t 2 t 1

2 2 t 1 2 + t u 1 ' u 2 ' = 2 t 1

u 1 ' + t u 2 ' = t         ( I ) u 1 ' + 2 + t u 2 ' = 1       ( I I )

Passo 8

De I I - ( I ) , obtemos

2 u 2 ' = 1 - t

u 2 ' = 1 2 - 1 2 t

E, assim, de I :

u 1 ' = t - t u 2 '

u 1 ' = t - 1 2 t + 1 2 t 3 / 2

Resolvendo para u 1 e u 2 :

u 1 = ∫     t - 1 2 t + 1 2 t 3 / 2   d t = 2 3 t 3 / 2 - 1 4 t 2 + 1 5 t 5 / 2 + c

u 2 = ∫     1 2 - 1 2 t   d t = 1 2 t - 1 3 t 3 2 + c