Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por uma Linha de Cargas

Campo Elétrico, Densidade de Carga

Um anel isolante delgado de raio R com densidade linear de carga λ uniforme encontra-se no plano X Z . O eixo Y passa pelo centro do anel, coincidente com a origem dos eixos (Figura 1).

a ) Calcule o vetor campo elétrico (módulo, direção e sentido) gerado pelo anel delgado num ponto qualquer sobre do eixo Y . Chame de Y 0 a coordenada deste ponto ao longo do eixo Y.

Considere agora que o anel delgado é substituído por uma calha cilíndrica com base circular de raio R , altura 2 L e densidade superficial de carga σ Y não uniforme. Como indicado na Figura 2, o plano X Z corta a calha no plano mediano dela.

b ) A partir do resultado do item a calcule o campo elétrico (módulo, direção e sentido) gerado pela calha no ponto P 0 , Y 0 , 0 , considerando Y 0 > L .

(Deixe o resultado em função dos símbolos das grandezas e parâmetros físicos)

Passo 1

a ) Calcule o vetor campo elétrico (módulo, direção e sentido) gerado pelo anel delgado num ponto qualquer sobre do eixo Y . Chame de Y 0 a coordenada deste ponto ao longo do eixo Y.

O primeiro passo aqui é escrever a expressão do campo elétrico d E → gerado por um pedaço infinitesimal do arco, de carga d q :

d E → = 1 4 π ϵ 0 d q r 2 r ^

Graficamente, a ideia é essa:

Daqui podemos tirar que:

r = R 2 + Y 0 2

d q = λ d s → d q = λ R d φ

Antes de continuarmos, aqui tem um detalhe aqui que é bem importante... vamos pegar dois pontos simétricos do anel pra ver o que acontece com o campo elétrico gerado por cada ponto de carga d q no ponto Y 0 .

Consegue ver que as componentes horizontais vão se cancelar e as componentes verticais vão se somar? Isso acontece para cada par de pontos simétricos. O resultado disso é que o campo elétrico resultante vai estar somente sobre o eixo Y .

E → = E Y j →

Assim, podemos nos preocupar em calcular somente a componente E Y do campo elétrico.

Logo:

d E Y = d E sen ⁡ θ

d E Y = 1 4 π ϵ 0 d q r 2 sen ⁡ θ

De acordo com a primeira figura, podemos dizer que:

sen ⁡ θ = Y 0 R 2 + Y 0 2

Substituindo d q , r e sen ⁡ θ na expressão de d E Y , teremos:

d E Y = 1 4 π ϵ 0 λ R Y 0 R 2 + Y 0 2 3 / 2 d φ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pra terminar, temos apenas que integrar esse cara entre 0 e 2 π .

E Y = 1 4 π ϵ 0 λ R Y 0 R 2 + Y 0 2 3 / 2 ∫ 0 2 π d φ

E Y = 1 4 π ϵ 0 2 π λ R Y 0 R 2 + Y 0 2 3 / 2

E Y = λ R Y 0 2 ϵ 0 R 2 + Y 0 2 3 / 2

Finalmente:

E → = λ R Y 0 2 ϵ 0 R 2 + Y 0 2 3 / 2 j →

Passo 3

b ) A partir do resultado do item a calcule o campo elétrico (módulo, direção e sentido) gerado pela calha no ponto P 0 , Y 0 , 0 , considerando Y 0 > L .

No item anterior nós pegamos um pedaço infinitesimal do anel, com carga d q para calcular o campo elétrico gerado por todo o anel, certo?

Encontramos o seguinte resultado: E → a n e l = λ R Y 0 2 ϵ 0 R 2 + Y 0 2 3 / 2 j →

Uma coisa que podemos fazer aqui é dizer que toda a carga do anel será Q = 2 π R λ , logo:

E → a n e l = Q Y 0 4 π ϵ 0 R 2 + Y 0 2 3 / 2 j →

Até aí, tudo bem.

O que faremos aqui é usar a mesma ideia de antes. Mas como agora se trata de uma calha, vamos dividi-la em vários anéis de carga d q , onde o campo elétrico gerado por cada anel no ponto Y 0 vale:

d E → = Y 0 - y d q 4 π ϵ 0 R 2 + Y 0 - y 2 3 2 j →

Onde a carga d q está associada com a densidade superficial de carga por: d q = σ y 2 π R d y .

Logo:

d E → = 2 π R Y 0 - y σ y 4 π ϵ 0 R 2 + Y 0 - y 2 3 2 d y   j →

Pra terminar, basta integrar esse cara entre os limites de y , que são - L e L .

E → = 2 π R 4 π ϵ 0 ∫ - L L Y 0 - y σ y R 2 + Y 0 - y 2 3 2 d y   j →

Finalmente:

E → = R 2 ϵ 0 ∫ - L L Y 0 - y σ y R 2 + Y 0 - y 2 3 2 d y   j →

Po, beleza... mas a resposta é essa daí mesmo?

Boa pergunta! Sim, a resposta é essa porque o problema disse que a casca tinha uma distribuição superficial de carga não uniforme σ y , então já que não sabemos como esse cara se comporta, temos que deixá-lo dessa forma mesmo.

Resposta

a )

E → = λ R Y 0 2 ϵ 0 R 2 + Y 0 2 3 / 2 j →

b )

E → = R 2 ϵ 0 ∫ - L L Y 0 - y σ y R 2 + Y 0 - y 2 3 2 d y j →

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