Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por uma Linha de Cargas

Campo Elétrico, Densidade de Carga, Campos Elétricos e Corpos Carregados

Uma barra isolante, de espessura desprezível e comprimento L = 40 c m , repousa sobre o eixo x desde x = 0 até x = L . Ela recebe uma carga total Q T O T A L que se distribui de modo não uniforme de acordo com a densidade linear de carga dada pela função λ x = A x , onde A = 2 × 10 - 4 é uma constante com dimensões apropriadas. O sistema de coordenadas está indicado na figura.

a ) Calcule o valor da carga total na barra, Q T O T A L , e a unidade SI (Sistema Internacional) da constante A .

b ) Calcule o valor E y (componente y apenas) do vetor campo elétrico E → no ponto de coordenadas x ,   y ,   z = 0 ,   30 c m ,   0 .

c ) O campo elétrico produzido por toda a barra no ponto P , de coordenadas 1.0 m ,   0 ,   0 , vale E → = 2,8 × 10 5   N / C   ( x ^ ) . Em que ponto do espaço se deveria colocar a carga pontual Q = -   0,7 μ C para que o campo total resultante fosse nulo em P ?

Passo 1

a ) Calcule o valor da carga total na barra, Q T O T A L , e a unidade SI (Sistema Internacional) da constante A .

Por definição, a densidade linear de carga é dada por:

λ = d q d l

Nesse caso, como a barra está posicionada ao longo do eixo x :

d q = λ d x

Q T O T A L = ∫ 0 L λ   d x

Q T O T A L = ∫ 0 L A x   d x

Q T O T A L = A x 2 2 0 L

Q T O T A L = A L 2 2

Onde A = 2 × 10 - 4 e L = 40   c m = 0,4 m .

Q T O T A L = 2 × 10 - 4 × 0,4 2 2

Q T O T A L = 16 × 10 - 6 C

Q T O T A L = 16 μ C

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pra encontrar a unidade SI da constante A , basta analisarmos as unidades dos termos da equação de densidade linear de carga:

λ = A x

λ = A x

C m = A m

A = C m 2

Portanto, a unidade da constante A é C / m 2 .

Passo 3

b ) Calcule o valor E y (componente y apenas) do vetor campo elétrico E → no ponto de coordenadas x ,   y ,   z = 0 ,   30 c m ,   0 .

Pra começar, vamos começar calculando o campo elétrico d E → gerado por uma carga infinitesimal d q :

d E → = k d q r 2 r ^

Graficamente, a ideia é essa:

Onde:

d q = λ   d x

d q = A x   d x

r ^ = - sen ⁡ θ x ^ + cos ⁡ θ y ^

r = x 2 + y 2

cos ⁡ θ = y x 2 + y 2

Logo:

d E → = k A x   d x x 2 + y 2 - sen ⁡ θ x ^ + cos ⁡ θ y ^

Como estamos interessados somente na componente vertical, na direção y :

d E y = k A x   d x x 2 + y 2   y x 2 + y 2

Reorganizando esse cada:

d E y = A k y x   d x x 2 + y 2 3 2

Passo 4

Finalmente, só temos que integrar esse cara entre 0 e L :

E y = A k y ∫ 0 L x x 2 + y 2 3 2   d x

Essa não é uma integral difícil de resolver, ela pode ser resolvida através de uma substituição. Entretanto, o seu formulário contém as respostas de algumas integrais, e como esse tipo de integral costuma aparecer bastante nesse tipo de problema, é bem provável que a resposta dessa integral esteja no seu formulário... é só dar uma olhada.

E y = - A k y 1 x 2 + y 2 0 L

E y = - A k y   1 L 2 + y 2 - 1 y

E y = A k y   1 y - 1 L 2 + y 2

Pra finalizar, temos apenas que substituir os valores aqui:

A = 2 × 10 - 4   C / m 2

y = 30 c m = 0,3 m

L = 40 c m = 0,4 m

k = 9 × 10 9 N m 2 / C 2

Substituindo os valores:

E y = 2 × 10 - 4 × 9 × 10 9 × 0,3 1 0,3 - 1 0,4 2 + 0,3 2

Agora só temos que organizar essa bagunça até chegar no resultado final:

E y = 2 × 10 - 4 × 9 × 10 9 × 0,3 1 0,3 - 1 0,4 2 + 0,3 2

E y = 5,4 × 10 5 1 0,3 - 1 0,5 = 5,4 × 10 5 10 3 - 10 5

E y = 5,4 × 10 6 1 3 - 1 5

E y = 5,4 × 10 6 2 15

E y = 7,2 × 10 5   N / C

Passo 5

c ) O campo elétrico produzido por toda a barra no ponto P , de coordenadas 1.0 m ,   0 ,   0 , vale E → = 2,8 × 10 5   N / C   ( x ^ ) . Em que ponto do espaço se deveria colocar a carga pontual Q = -   0,7 μ C para que o campo total resultante fosse nulo em P ?

Logo de cara, o módulo do campo elétrico gerado pela caga Q no ponto P deve ser igual ao módulo do campo elétrico gerado pela barra no ponto P , para que elas possam se anular. Isso já vai nos ajudar a descobrir a distâncias entre Q e P .

E = k Q r 2

r = k Q E

Substituindo os valores, onde Q = - 0,7 × 10 - 6 C , teremos:

r = 9 × 10 9 × 0,7 × 10 - 6 2,8 × 10 5

r = 9 4 × 10 - 2

r = 3 2 × 10 - 1 = 0,15 m

Beleza, agora que já sabemos que a carga Q deve estar a 0,15 m do ponto P , temos que dizer se ele está à direita ou à esquerda do ponto P .

Bom, o campo elétrico gerado pela barra, no ponto P , possui o seguinte sentido:

Como Q é uma carga negativa, o campo gerado por ela aponta para a própria carga. Assim, para que o campo gerado pela carga Q esteja no sentido oposto ao campo gerado pela barra, a carga Q deve estar à esquerda do ponto P .

Logo, o ponto em que a carga Q deve estar para que o campo elétrico no ponto P seja nulo é:

x = 1 - 0,15

x = 0,85 m

O ponto é 0.85 m   ,   0   ,   0 .

Resposta

a )

Q T O T A L = 16 μ C

A = C m 2

b )

E y = 7,2 × 10 5   N / C

c )

0.85 m   ,   0   ,   0

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