Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por um Corpo Extenso

UFPE, Física 3, 1º EE - 2018.1, Questão 1

A estrutura ilustrada na figura abaixo é composta por três barras isolantes, uma semicircular ( A ) de raio R , e duas retilíneas ( B ) e ( C ) que são perpendiculares entre si. As três barras apresentam uma densidade linear de carga constante e positiva + λ . O ponto P é o centro do semicírculo e a origem do sistema de coordenadas x - y .

  1. Calcule o vetor campo elétrico produzido apenas pela barra semicircular A no ponto P .
  2. Calcule o vetor campo elétrico produzido por ambas as barras retilíneas B e C , no ponto P .
  3. Se colocamos uma carga pontual negativa q no ponto P , em que direção e sentido esta carga vai se mover? Explique sua resposta.

Dado:

  d u u 2 + a 2 3 / 2   = u a 2 u 2 + a 2 1 / 2 + c o n s t a n t e .

Passo 1

a) Para a barra semicircular A , como mostra a figura abaixo, vemos que o campo elétrico resultante estará ao longo da direção   y ^ . As componentes ao longo do eixo x se cancelam aos pares, já que a distribuição de cargas é uniforme. Por isso, o campo resultante é:

E A = E A   y ^   .

Como o elemento infinitesimal de carga é d q = λ d s = λ R d θ e a distância entre o elemento d s , que tem carga d q , é R 2 , podemos escrever o módulo | E A | como:

E A = d E cos θ

Do jeito que a gente desenhou o ângulo θ , ele varia de - π / 2 (quando o elemento de carga tá na ponta esquerda) até π / 2 (quando o elemento de carga tá na ponta direita). Assim:

E A = - π 2 + π 2 1 4 π ϵ 0 d q R 2 cos θ = λ 4 π ϵ 0 R - π 2 π 2 cos θ d θ   .

Isso nos conduz a

E A = λ 4 π ϵ 0 R ( sen θ = + π 2 - sen θ = - π 2   E A = λ 2 π ϵ 0 R   .

Portanto, o vetor campo elétrico produzido pela barra semicircular A é

E A = E A   y ^ = λ 2 π ϵ 0 R   y ^   .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) A primeira coisa que precisamos notar é que o comprimento de cada barra é 2 R . Isso a gente obtém aplicado o teorema de Pitágoras no triângulo da figura à esquerda abaixo. Além disso, o módulo do campo elétrico que essas barras carregadas produzem na origem tem o mesmo valor: E B = E C , já que cada barra está disposta da mesma maneira e possui a mesma densidade de cargas + λ . Para continuarmos, veja bem as quantidades que estão representadas na figura abaixo.

Antes de escrevermos os vetores para esses campos, vamos encontrar o valor de seus módulos. Como d q = λ d s e cos θ = z r = z s 2 + z 2     (veja a figura acima), temos que

E B = - 2 R 2 2 R 2     1 4 π ϵ 0 λ d s r 2 cos θ = λ 4 π ϵ 0   - 2 R 2 2 R 2   1 s 2 + z 2 z s 2 + z 2     d s   ,

em que integramos sobre todo o comprimento 2 R da barra.

Como o integrando é uma função par na variável s , podemos escrever que

E B = 2 λ z 4 π ϵ 0   0 2 R 2 d s s 2 + z 2 3 2   = λ z 2 π ϵ 0 2 R 2 z 2 ( 2 R / 2 ) 2 + z 2 1 2     ,

em que já utilizamos o resultado da integral dado no enunciado e aplicamos os limites.

Agora, para fechar, da figura, vemos que z 2 + 2 R 2 2 = R 2 , o que resulta em z = 2 R / 2 . Substituindo isso na expressão acima, teremos que

E B = λ 2 π ϵ 0 R = E C   .

Como mostra a figura, os vetores   E B e   E C podem ser decompostos nas direções x e y e esses vetores formam um ângulo de 45 ˚ com o eixo x . Fazendo isso, obtemos que

E B = E B cos π 4   x ^ - sin π 4 y ^ = 2 λ 4 π ϵ 0 R x ^ - y ^   ,

              E C = E C - cos π 4   x ^ - sin π 4 y ^ = 2 λ 4 π ϵ 0 R - x ^ - y ^   .  

O campo resultante no ponto P será a soma vetorial desses dois campos. Portanto,

E R e s , B C = E B + E C = 2 λ 2 π ϵ 0 R ( -   y ^ )   ,  

que confirma que o campo devido às barras tem direção e sentido do eixo -   y ^ .

Passo 3

c) Uma carga negativa q colocada no ponto P , estará sob a ação do campo resultante   E R , t o t a l , que é a soma vetorial do campo da barra semicircular A e do campo das duas barras retilíneas B e C . Logo, a força sobre a carga será:

F = - q     E R , t o t a l = - q E A + E R e s ,   A B .

Utilizando os resultados que obtivemos nos itens a) e b), chegamos a

F = - q λ 2 π ϵ 0 R - 2 λ 2 π ϵ 0 R     y ^   F = λ q 2 π ϵ 0 R   2 - 1 y ^   .

Portanto, a carga q se move para cima, no sentido positivo do eixo y .

Resposta

  1. E A = E A   y ^ = λ 2 π ϵ 0 R   y ^     ;
  2. E R e s , B C = E B + E C = 2 λ 2 π ϵ 0 R -   y ^   ;
  3. F = λ q 2 π ϵ 0 R   2 - 1   y ^   .

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas