Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por uma Linha de Cargas

UFRJ- Física 3 – SC 2018.2 - DIURNO - 1

Um semianel fino, isolante, de raio R é posicionado sobre os dois primeiros quadrantes do plano X Y de um sistema de coordenadas com seu centro sobre a origem, como mostrado na figura abaixo. Ele encontra-se carregado com densidade linear de carga estacionária, mas não-uniforme dada por λ θ = λ 0 cos ⁡ θ , onde λ 0 é uma constante positiva e θ é o ângulo polar, medido a partir do eixo X .

  1. Determine a carga total contida no semianel.
  2. Determine o vetor campo elétrico produzido pelo semianel em seu centro.

Passo 1

a) Para encontrar a carga, primeiro precisamos ter o elemento infinitesimal de carga d q para depois integrar. Nesse caso, como d l = R d θ , esse elemento de carga será escrito como

d q = λ d l = λ 0 cos ⁡ θ R d θ

A carga total Q t o t será

Q t o t = ∫ d q = ∫ 0 π λ 0 cos ⁡ θ R d θ = λ 0 R ∫ 0 π c o s θ d θ     ⇒     Q t o t = 0   .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) A primeira coisa que a gente deve reparar aqui é que a distribuição de cargas λ ( θ ) é positiva quando cosseno é positivo e negativa quando ele é negativo, já que λ 0 > 0 . O cosseno é positivo entre 0 e π / 2 e negativo entre π / 2   e π . Isso é importante porque cada porção dessa gera um campo elétrico com características diferentes.

Vamos considerar a figura abaixo, em que desenhamos dois elementos d l de mesmo tamanho, mas nas posições angulares θ e π - θ .

Nesse caso, o elemento que está no primeiro quadrante ( θ entre 0 e π / 2 ) tem carga positiva e o campo  d E → λ θ que ele gera é de afastamento, enquanto que o outro elemento do segundo quadrante, que tem carga negativa e de mesmo módulo que a do primeiro, gera um campo  d E → - λ θ de aproximação e ambos fazem um ângulo θ com a direção X , como indicado na figura acima.

Disso, vemos que as componentes desses campos na direção Y se cancelam, restando apenas uma componente que está ao longo da direção e sentido de  - x ^ . Por isso, precisamos apenas considerar a componente ao longo de X :

d E x = - d E cos θ ⁡ = - d q 4 π ε 0 R 2 cos ⁡ θ = - λ 0 c o s ( θ ) R d θ 4 π ε 0 R 2 cos ⁡ θ

d E x = - ⁡ λ 0 c o s 2 θ d θ 4 π ε 0 R   .

Agora, integrando essa expressão e lembrando que cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ( 2 ⁡ θ ) 2 (relação fornecida no cabeçalho da prova), vamos obter que:

E x = - λ 0 4 π ε 0 R 1 2 ∫ 0 π d θ + ∫ 0 π cos ⁡ 2 θ d θ   ,

que vai dar os seguintes resultados

∫ 0 π d θ = π

∫ 0 π cos ⁡ 2 θ d θ = s e n 2 θ 2 θ = 0 θ = π = 1 2 0 - 0 = 0

Assim

E x = - λ 0 8 ε 0 R     ⇒     E → = λ 0 8 ε 0 R - x ^   .  

Um aspecto interessante de a gente perceber aqui é que, apesar de a carga total ser zero, como mostramos no item a), o campo elétrico resultante que o semianel produz é diferente de zero!!

Resposta

  1. Q t o t = 0   ;

E → = λ 0 8 ε 0 R - x ^   .

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