Exercícios Resolvidos de Campos e Operadores Vetoriais

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um Curso de Cálculo – volume 3, 5ª edição, Rio de Janeiro: LTC, 2001, pp. 30-1.

Calcule o divergente do campo vetorial dado.

  1. v → x , y = - y   i → + x   j →
  2. u → x , y , z = x   i → + y   j → + z   k →
  3. F → x , y , z = x 2 - y 2   i → + sin ⁡ x 2 + y 2   j → + arctan ⁡ z   k →
  4. F → x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 arctan ⁡ x 2 + y 2 + z 2   k →

Passo 1

a)

A gente viu na teoria que o divergente é, simplesmente:

d i v   F → = ∇ ∙ F →

Ou seja, o produto escalar do operador com o campo vetorial. Onde, pra quem não lembra:

∇   = ( ∂ x , ∂ y , ∂ z )

Como nosso campo aqui é bidimensional, vamos usar só as duas primerias componentes e calcular as derivadas:

∇ ∙ v → = ∂ x , ∂ y ∙ F 1 , F 2 = ∂ - y ∂ x + ∂ x ∂ y = 0 + 0 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Vamos repetir a fórmula do item a):

d i v   F → = ∇ ∙ F →

Mas agora temos um capo vetorial tridimensional, então vamos usar o operador completo:

∇ ∙ u → = ∂ x , ∂ y , ∂ z ∙ F 1 , F 2 , F 3 = ∂ x ∂ x + ∂ y ∂ y + ∂ z ∂ z = 3

Algumas derivadas mais

Passo 3

c)

Parece que a questão complicou um pouco agora, mas a fórmula é sempre a mesma, não esqueça:

d i v   F → = ∇ ∙ F → = ∂ x , ∂ y , ∂ z ∙ F 1 , F 2 , F 3 = ∂ x 2 - y 2 ∂ x + ∂ sen ⁡ x 2 + y 2 ∂ y + ∂ ( arctan ⁡ z ) ∂ z

Algumas derivadas não tão triviais quanto as anteriores, mas nada que você não saiba calcular, né?

∂ x 2 - y 2 ∂ x + ∂ sen ⁡ x 2 + y 2 ∂ y + ∂ ( arctan ⁡ z ) ∂ z = 2 x + 2 y ∙ cos ⁡ x 2 + y 2 + 1 1 + z 2

Passo 4

d)

Pra terminar, temos um campo meio estranho, com uma componente em z só. Mas nada impede de aplicarmos a fórmula:

d i v   F → = ∇ ∙ F → = ∂ x , ∂ y , ∂ z ∙ F 1 , F 2 , F 3

= ∂ 0 ∂ x + ∂ 0 ∂ y + ∂ x 2 + y 2 + z 2 arctan ⁡ x 2 + y 2 + z 2 ∂ z

Eita, agora sim uma derivada chata, mas vamos pela regra do produto e da cadeia:

∂ x 2 + y 2 + z 2 arctan ⁡ x 2 + y 2 + z 2 ∂ z

= 2 z ∙ arctan ⁡ x 2 + y 2 + z 2 + x 2 + y 2 + z 2 ∙ 2 z ∙ 1 1 + x 2 + y 2 + z 2 2

Ficou feio, mas as vezes é assim mesmo, fazer o que...

Resposta

  1. 0
  2. 3
  3. 2 x + 2 y ∙ cos ⁡ x 2 + y 2 + 1 1 + z 2

2 z arctan ⁡ x 2 + y 2 + z 2 + x 2 + y 2 + z 2 1 + x 2 + y 2 + z 2 2

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