Exercícios Resolvidos de Campos Singulares

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 4, Questão 25

25) Seja

F x , y = y - 1 x 2 + y - 1 2 - y , - x x 2 + y - 1 2 ,   x , y 0,1

Calcule a integral de linha do campo F ao longo de C 1 e C 2 , orientadas no sentido anti-horário, onde

C 1 : x 2 + y - 1 2 = 1

C 2 : x 2 + y 2 = 16

Passo 1

Vamos começar achando a integral de linha de C 1 , para isso precisamos parametrizar C 1 , como C 1 é uma circunferência de centro 0,1 e raio 1 vamos ter

σ 1 = 1 cos θ , 1 sen θ + 1

σ 1 = cos θ , sen θ + 1

Com θ 0,2 π

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Precisamos agora da derivada dessa parametrização

σ 1 ' = - sen θ , cos θ

Passo 3

A integral vai ficar

C 1 F d r = 0 2 π sen θ + 1 - 1 cos θ 2 + sen θ + 1 - 1 2 - sen θ + 1 , - cos θ cos θ 2 + sen θ + 1 - 1 2 - sen θ , cos θ d θ

0 2 π sen θ cos θ 2 + sen θ 2 - sen θ + 1 , - cos θ cos θ 2 + sen θ 2 - sen θ , cos θ d θ

0 2 π sen θ 1 - sen θ + 1 , - cos θ 1 - sen θ , cos θ d θ

0 2 π sen θ - sen θ - 1 , - cos θ - sen θ , cos θ d θ

0 2 π - 1 , - cos θ - sen θ , cos θ d θ

0 2 π sen θ - cos 2 θ d θ

Lembrando que cos 2 θ = 1 + cos 2 θ 2

0 2 π sen θ - 1 + cos 2 θ 2 d θ

0 2 π sen θ - 1 2 - cos 2 θ 2 d θ

- cos θ - θ 2 - sen 2 θ 4 θ = 0 θ = 2 π

- cos 2 π - 2 π 2 - sen 2 2 π 4 - - cos 0 - 0 2 - sen 2 0 4

- 1 - π - sen 4 π 4 - - 1 - 0 - sen 0 4

- 1 - π - 0 - - 1 - 0 - 0

- 1 - π + 1

- π

Passo 4

Vamos ver agora a integral de C 2 !

Repara que antes conseguimos fazer direto porque na função F aparece à equação de x 2 + y - 1 2 dessa vez não vai aparecer. Se tentarmos fazer na “marra” vai aparecer uma integral surrealmente louca.

Vamos então marotamente usar o teorema de Green, mas temos um problema, a função F não está definida em 0,1 . Colocando a região para o teorema de Green sendo a região de fronteira C onde C = C 1 C 2 assim tiramos o nosso problema:

Pelo Teorema então...

C   F d r = D   F 2 x - F 1 y d x d y

Dessa vez vamos ter

C   F d r = - C 1   F d r + C 2   F d r

Eu coloquei esse porque a orientação da curva C 1 deve ser ao contrário agora, porque elas devem rodar em sentidos contrários, ou seja, C 1 deve ser horário, e o que achamos no passo 3 foi no sentido anti-horário.

Então

- C 1   F d r + C 2   F d r = D   F 2 x - F 1 y d x d y

C 2   F d r = C 1   F d r + D   F 2 x - F 1 y d x d y

Passo 5

Vamos agora calcular F 2 x - F 1 y :

F 2 x = x - x x 2 + y - 1 2 =

= - x 2 + y - 1 2 - - x ( 2 x ) x 2 + y - 1 2 2 =

= - x 2 - y - 1 2 + 2 x 2 x 2 + y 2 2

= x 2 - y - 1 2 x 2 + y 2 2

Agora F 1 y ...

F 1 y = y y - 1 x 2 + y - 1 2 - y =

= x 2 + y - 1 2 - y - 1 2 y - 1 x 2 + y - 1 2 2 - 1 =

= x 2 + y - 1 2 - 2 y - 1 2 x 2 + y - 1 2 2 - 1

= x 2 - y - 1 2 x 2 + y - 1 2 2 - 1

Chegamos ah:

F 2 x - F 1 y = 1

Passo 6

Aplicando o teorema de Green, temos:

C 2   F d r = C 1   F d r + D   1 d x d y = Á r e a D

A área de D é a área da circunferência de raio 4 menos a área da circunferência de raio 1 . Então:

D   d x d y = π × 4 2 área do círculo de raio 4    - π × 1 2 área do círculo de raio 1 = 16 π - π = 15 π

Passo 7

A integral de linha vai ficar

C 2   F d r = C 1   F d r + D   1 d x d y

C 2   F d r = - π + 15 π

C 2   F d r = 14 π

Resposta

  1. C 1 F d r = - π
  2. C 2   F d r = 14 π

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