Exercícios Resolvidos de Caso Avançado

UERJ - Análise Vetorial - Lista 3 Flávio - 7f

Obtenha uma parametrização para a seguinte superfície:

x 2 + y 2 - z 2 = 1

Passo 1

Primeira pergunta, vocês lembram que superfície é essa? Se não lembram eu vou dar uma ajuda, é um hiperbolóide de uma folha! Alguma coisa assim oh:

Sacou?

E como ele é formado? Ele é uma hipérbole rotacionada em torno de um eixo!!! No caso, é rotacionada em torno do eixo que está com o sinal negativo (o z ). Então estamos parametrizando uma superfície de revolução 😉

Vamos usar como curva a parte de x > 0 da hipérbole x 2 - z 2 = 1 no plano x z :

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Show, próximo problema! Já sabemos que essa superfície é formada pela revolução de meia hipérbole. Mas como que é a parametrização de uma hipérbole?!?!

Pois é, temos que lembrar disso na hora também, então puxe todos os seus conhecimentos de parametrização de curvas agora! A parametrização é essa aqui oh:

x t = a cosh t + x 0

z t = b sinh t + z 0

- < t < +

Sendo que essa é só a parte com x positivo da hipérbole.

Então para a nossa hipérbole x 2 - z 2 = 1 , temos:

x t = cosh t

z t = sinh t

- < t < +

Além disso, como x e y são parecidos quando rodamos em torno de z , vai aparecer um cosh t no y também!

Passo 3

Pra finalizar rotacionamos isso 2 π em torno do eixo z e ficamos com:

φ θ , t = ( cosh t cos θ , cosh t sin θ , sinh t )

0 θ 2 π

- < t < +

Resposta

φ θ , t = ( cosh t cos θ , cosh t sin θ , sinh t )

0 θ 2 π

- < t < +

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