Exercícios Resolvidos de Caso Avançado

UFPE, Cálculo 3, 2º EE - 2012.2, Questão 4

Parametrize a porção do hiperboloide de duas folhas x 2 + y 2 - z 2 = - 1 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 3 e y 0 . Para isto tome coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Bom, o enunciado aqui já encaminhou bastante pra gente o que precisamos fazer, vamos começar colocando aqui as coordenadas cilíndricas que ele pediu

x = r cos θ

y = r sen θ

z = z

Muita calma agora! Temos três variáveis aqui e queremos parametrizar uma superfície, que só tem duas, como fazemos isso?

Bom, o que vamos fazer é usar a equação do hiperboloide pra definir r em função de z ou z em função de r . O que você preferir.

Pessoalmente eu prefiro colocar z em função de r , isso porque depois facilita os limites de r e θ , já que seria o interior do cilindro x 2 + y 2 3 .

Vamos fazer isso então!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bom, a equação do hiperboloide é

x 2 + y 2 r 2 - z 2 = - 1

r 2 - z 2 = - 1

z 2 = r 2 + 1

z = ± r 2 + 1

E agora, será que podemos usar as duas raízes mesmo?

Aparentemente não tem nenhuma restrição pra isso, vamos ver o esboço pra confirmar

Como o enunciado fala das duas folhas, a parametrização vai ter o ± em z mesmo.

Passo 3

Falta ainda os limites de r e θ , né? Mas isso é mais simples, sabemos que a superfície está no interior do cilindro x 2 + y 2 = 3 , logo

x 2 + y 2 3

r 2 3

r 3

Além disso, o enunciado fala de um outro limite, diz que y 0

r sen θ 0

Mas em coordenadas cilíndricas, sabemos que r sempre é positivo

sen θ 0

π θ 2 π

Então os limites são

0 r 3

π θ 2 π

Passo 4

Juntando tudo isso

φ r , θ = r cos θ , r sen θ , ± r 2 + 1

0 r 3

π θ 2 π

Resposta

φ r , θ = r cos θ , r sen θ , ± r 2 + 1

0 r 3

π θ 2 π

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