Exercícios Resolvidos de Caso Avançado

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 5, Questão 1d

1) Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:

d) S : cone gerado pela semireta z = 2 y , y 0 , girando-a em torno do eixo z .

Passo 1

Sugiro sempre a você em casos de parametrização como esse, fazer um esboço da superfície que você está trabalhando. Nem precisa ser perfeito, pois é mais para te dar uma noção do que fazer mesmo.

No nosso caso, o que devemos fazer é pegar essa reta z = 2 y no plano z y ...

E girá-la ao redor de z :

Formando ao pedaço de cone pedido! (note que embora tivemos que colocar um fim, o cone do problema não tem um, então ele vai crescendo indefinidamente )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Uma superfície como essa, foi gerada com uma revolução, logo a parametrização que devemos utilizar é a parametrização que chamamos de parametrização de superfícies de revolução. Bem sugestivo, neh? kkkkkk

Para essa superfície, como você já sabe, primeiro parametrizamos a curva que deu origem, no caso, a reta:

z = 2 y

Se chamarmos y = t ... então z ...

z = 2 t

Logo a parametrização da curva é...

r t ,     =       ,   t ,   2 t

Repare que ficaram uns vácuos ali! Isso porque a uma curva precisa de uma única variável e a superfície de duas, bora encontrar a segunda?

Passo 3

Bem, o segundo parâmetro é o ângulo θ que chamamos de fator de giro. Como no caso estamos girando ao redor de z , ou seja, no plano x y ...

Devemos colocar uma correção com um cosseno e um seno em x e y . O cosseno, se quisermos o ângulo saindo do eixo x no sentido anti-horário como no desenho acima, deve ser necessariamente o x e o y o seno:

x = cos θ

y = sin θ

Então a parametrização fica...

r t ,     =       ,   t ,   2 t                             r t ,   θ = cos θ ,   t sin θ ,   2 t          

Como tem um t na frente do seno, tem que ter na frente do cosseno também:

r t ,   θ = t cos θ ,   t sin θ ,   2 t

Eis a parametrização!

Passo 4

Ok, agora nos falta a segunda parte do problema que é encontrar o domínio dos parâmetros: onde eles estão variando.

Bem, o ângulo θ gira no plano x y ao redor do eixo z :

Como pode ver na projeção da superfície no plano x y , precisamos de um θ dando uma volta completa:

0 θ 2 π

Enquanto isso, o t que representa o raio dessa projeção, pelo fato de o cone não ter fim, o raio não tem um limite superior, apenas o inferior que é o 0 (raio não pode ser negativo)...

0 t +

Podemos omitir essa notação do infinito e dizer simplesmente que...

t 0

Resposta

r t ,   θ = t cos θ ,   t sin θ ,   2 t

D :     0 θ 2 π

          0 t              

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