Exercícios Resolvidos de Caso Avançado

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 5, Questão 1b

1) Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:

a) S : parte do cilindro x 2 + y 2 = 4 , que fica acima do plano z = - 2 e y + z = 2 .

Passo 1

Sugiro sempre a você em casos de parametrização como esse, fazer um esboço da superfície que você está trabalhando. Nem precisa ser perfeito, pois é mais para te dar uma noção do que fazer mesmo.

No nosso caso, a parte do cilindro limitado por dois planos:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bem, estamos trabalhando com um pedaço de cilindro, então nada mais justo que utilizar uma parametrização “prima” das coordenadas cilíndricas:

x = R cos θ

y = R sin θ

z = z

Agora tome muito cuidado! Uma superfície, mesmo no espaço, tem duas dimensões, certo? Então ela precisa sempre de dois parâmetros para descrevê-la. No nosso caso, é só o ângulo θ e o próprio z , esse R desaparece virando o raio da cilindro que estamos trabalhando...

R = 2

Logo a parametrização é...

x = 2 cos θ

y = 2 sin θ

z = z

Ou, com uma anotação um pouco mais elegante do ponto de vista da matemática...

r θ ,   z = 2 cos θ , 2 sin θ ,   z

Passo 3

Ok, agora nos falta a segunda parte do problema que é encontrar o domínio dos parâmetros: onde eles estão variando.

Bem, como a parametrização é prima das coordenadas cilíndricas, o ângulo θ gira no plano x y ao redor do eixo z :

Como pode ver na projeção da superfície no plano x y , precisamos de um θ dando uma volta completa:

0 θ 2 π

Passo 4

Enquanto isso, o z varia entre os dois planos:

- 2 z P l a n o   v e r d e

O plano verde é z + y = 2 . Colocando o z em evidência e trocando pelos parâmetros...

z = 2 - y  

z = 2 - 2 sin θ

- 2 z 2 - 2 sin θ

Resposta

r θ ,   z = 2 cos θ , 2 sin θ ,   z

D :     0 θ 2 π

                                      - 2 z 2 - 2 sin θ

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