Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R²

Integrais de linha – caso escalar

Calcule a integral de linha escalar ∫ γ   x y   d s , sendo γ a curva em R 2 dada por x 2 + 4 y 2 = 4 ligando os pontos ( 2,0 ) e ( 0,1 ) pelo arco de menor comprimento.

Passo 1

Vamos buscar uma parametrização para a curva γ , uma elipse dada por:

x 2 4 + y 2 = 1

Podemos, então, representar essa curva por ( 2 cos ⁡ θ , sen ⁡ θ ) . O arco de menor comprimento é aquele que vai de ( 2,0 ) até ( 0,1 ) pelo sentido anti-horário, como você pode ver na figura:

Temos, então, 0 ≤ θ ≤ π / 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos, agora, calcular σ → ' : σ → ' = d 2 cos ⁡ θ d θ , d sen ⁡ θ d θ = ( - 2 sen ⁡ θ , cos ⁡ θ )

Passo 3

Agora, calculamos σ → ' :

σ → ' = - 2 sen ⁡ θ 2 + cos ⁡ θ 2 =

= 4 sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ =

= 3 sen 2 ⁡ θ + 1

Passo 4

Podemos, então, substituir σ → ' na fórmula abaixo, escrevendo   x y em função de θ :

∫ a b f x θ ,   y θ ⋅   | σ → ' |   d θ

∫ 0 π / 2 2 cos ⁡ θ sen ⁡ θ ⋅ 3 sen 2 ⁡ θ + 1 d θ =

Passo 5

Agora vamos chamar 3 s e n 2 θ + 1 = u , temos 6   s e n θ cos ⁡ θ d θ = d u .

t = π 2 → u = 4

t = 0 → u = 1

A integral passa a ser:

∫ 1 4 2 u   d u 6   =

= 1 3 × 2 3 u 3 / 2 1 4 =

= 2 9 8 - 1 =

Resposta

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