Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R²

Calcule a integral de linha escalar

∮ γ 4 x ( cos ⁡ ( y ) ) 6 d s

Onde γ é a parte da curva x = t g ( y ) entre os pontos - 3   ,   - π 3 e 3 3   , π 6 .

Passo 1

A gente já sabe que para resolver uma integral de linha no caso escalar, não tem saída: Tem que calcular pelo método direto! Mas não se preocupe, pois, o método não é complicado, você se lembra?!

A gente sempre deve começar entendendo melhor sobre a nossa curva e encontrando uma parametrização que salve nossa vida. Vem comigo!

A nossa curva está sobre x = t g y , então a gente pode usar uma parametrização explícita da forma:

γ y = t g y   , y                   ;                 o n d e     - π 3 ≤ y ≤ π 6

Pra facilitar a visualização eu botei o y em escalas de π 6 e o x em escalas de 3 3 ;)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos encontrar agora o nosso termo d s . Não se esqueça que d s é dado por

d s = γ ' y d y

Derivando a nossa parametrização, obteremos

γ ' x = d t g y , y d y = sec 2 ⁡ y , 1

Logo

γ ' y = sec 4 ⁡ y + 1

d s = sec 4 ⁡ y + 1   d y

Passo 3

Lembre-se que integrais de linha vai se transformar em uma integral simples de uma variável, logo a gente tem que eliminar aquele x da nossa função.

A gente faz isso aplicando a nossa função em cima da nossa parametrização, lembrou?!

f γ y = f t g y , y = 4 tg ⁡ y cos 6 ⁡ y

Passo 4

Montando a nossa integral...

∮ γ 4 x ( cos ⁡ ( y ) ) 6 d s = ∫ f ( γ x )   .     γ ' x d x = ∫ 4 tg ⁡ y cos 6 ⁡ y sec 4 ⁡ y + 1   d y  

Note que não coloquei os limites de variação de x ainda apenas para facilitar nas contas dessa integral. Em falar nisso, bora lá?

Bom, vamos começar escrevendo tudo em função de senos e cossenos? É bem mais confortável trabalhar com eles né? Se liga:

∫ 4 tg ⁡ y cos 6 ⁡ y sec 4 ⁡ y + 1 d y = ∫ 4 sin ⁡ y cos ⁡ y cos 6 ⁡ y 1 cos 4 ⁡ y + 1   d y =

= ∫ 4 sin ⁡ y cos 5 ⁡ y 1 + cos 4 ⁡ y cos 4 ⁡ y   d y

Fazendo essa substituição aqui:

u = cos ⁡ y

d u = - sin ⁡ y d y

Chegamos no seguinte:

- 4 ∫ u 5 1 + u 4 u 4 d u = - 4 ∫ u 5 u 2 1 + u 4 d u = - 4 ∫ u 3 1 + u 4 d u

Opa beleza! Viu a substituição que dá pra fazer agora? Se liga:

v = 1 + u 4

d v = 4 u 3

Aí ficamos com:

- ∫ v d v = - 2 3 v 3 2

Agora é só a gente substituir de volta pra variável y !

- 2 3 v 3 2 = - 2 3 1 + u 4 3 2 = - 2 3 1 + cos 4 ⁡ y 3 2

Passo 5

Pra finalizar é só substituir os limites de integração!

- 2 3 1 + cos 4 ⁡ y 3 2 - π 3 π 6 = - 2 3 1 + 3 2 4 3 2 - 1 + 1 2 4 3 2 =

= - 2 3 1 + 9 16 3 2 - 1 + 1 16 3 2 = - 2 3 25 16 3 2 - 17 16 3 2 = - 2 3 25 16 3 2 - 17 16 3 2 =

= - 2 3 125 64 - 17 17 64 = 17 17 - 125 96

Resposta

∮ γ 4 x ( cos ⁡ ( y ) ) 6 d s = 17 17 - 125 96

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