Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R²

UFPE, Cálculo 3, 1°EE, 2013.1, questão 1

Considere a curva parametrizada por:

α t = e t 2 cos ⁡ t ,   e t 2 s e n t ,   0 ≤ t ≤ π 2

  1. Ache d s o elemento de comprimento de arco da curva parametrizada α .
  2. Calcule o comprimento dessa curva
  3. Calcule ∫ α y d s

Passo 1

  1. O elemento d s de comprimento de arco é dado por:
  2. d s = σ ' ( t ) d t

    Onde σ ' ( t ) = x ' t 2 + y ' t 2

    Encontrando as derivadas:

    d x d t = 1 2 e t 2 cos ⁡ t - e t 2 s e n t = e t 2 1 2 cos ⁡ t - s e n t

    d y d t = 1 2 e t 2 sen ⁡ t + e t 2 c o s t = e t 2 1 2 s e n t + cos ⁡ t

    Passo 2

    Substituindo:

    d s = e t 2 1 2 cos ⁡ t - s e n t 2 + e t 2 1 2 s e n t + cos ⁡ t 2 d t

    Ajeitando:

    d s = e t cos 2 ⁡ t 4 - cos ⁡ t s e n t + s e n 2 t + s e n 2 t 4 + s e n t cos ⁡ t + cos 2 ⁡ t d t

    Vai ficar:

    d s = e t 5 cos 2 ⁡ t 4 + 5 s e n 2 t 4 d t

    d s = 5 2 e t 2   d t

    Passo 3

  3. Vamos calcular:
  4. L = ∫ t 1 t 2 σ ' ( t )   d t

    Substituindo:

    L = ∫ 0 π 2 5 2 e t 2 d t   = 5 2 ∫ 0 π 2 e t 2 d t  

    Calculando a integral, temos:

    L = 5 2 2 e t 2 π 2 0

    L = 5 e π 4 - 1

    Passo 4

  5. Vamos calcular:

  ∫ α y d s = ∫ 0 π 2 y d s

Substiuindo y pelo y da curba, e o d s que já encontramos, temos:

∫ α y d s = ∫ 0 π 2 e t 2 s e n t 5 2 e t 2   d t  

Ajeitando:

∫ α y d s = 5 2 ∫ 0 π 2 e t s e n t   d t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular

∫ 0 π 2 e t s e n t   d t

Integrando por partes:

u = s e n t

d v = e t

Então:

∫ 0 π 2 e t s e n t d t = s e n t e t π / 2 0 - ∫ 0 π 2 e t c o s t   d t

Integrando por partes:

∫ 0 π 2 e t c o s t   d t

u = cos ⁡ t

d v = e t

Temos

∫ 0 π 2 e t s e n t d t = s e n t e t π / 2 0 - e t cos ⁡ t π 2 0 - ∫ 0 π 2 - e t s e n t d t

Ajeitando

2 ∫ 0 π 2 e t s e n t d t = e t s e n t - cos ⁡ t π / 2 0

∫ 0 π 2 e t s e n t d t = e t 2 s e n t - cos ⁡ t π / 2 0

Passo 3

Como:

∫ α y d s = 5 2 ∫ 0 π 2 e t s e n t   d t = 5 2 e t 2 s e n t - cos ⁡ t π 2 0

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∫ α y d s = 5 4 e π 2 + 1

Resposta

a) d s = 5 2 e t 2   d t

b) L = 5 e π 4 - 1

c) ∫ α y d s = 5 4 e π 2 + 1

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