Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R²

Integrais de linha – caso escalar

Considere a curva plana parametrizada por

α t = 2 cos ⁡ t ,   s e n   t ∈ [ 0 , π ]

  1. Faça um esboço da imagem/ traço de α .
  2. Calcule a integral, com respeito ao comprimento do arco, da função escalar f x , y = x y ao longo da curva parametrizada α .

Passo 1

Letra a)

Se a gente olhar para a parametrização da curva α t = 2 cos ⁡ t ,   s e n   t ∈ [ 0 , π ] , percebemos que:

x 2 4 + y 2 = 1

Ou seja, essa parametrização é de uma elipse (em coordenadas elípticas).Como 0 ≤ t ≤ π , temos meia volta. Comparando a equação acima com a equação geral de um elipse:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Temos os coeficientes a = 2 e b = 1 , os raios menor e maior, respectivamente, da elipse. Levando isso para o desenho:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra b)

Já que a curva já nos foi dada parametrizada, a primeira coisa a fazer aqui é derivar essa parametrização:

α → ' = d 2 cos ⁡ t d t , d s e n   t d t = ( -   2   s e n   t , cos ⁡ t )

Passo 3

Agora, calculamos α → ' :

α → ' = - 2   s e n   t 2 + cos ⁡ t 2 =

= 1 + 3 s e n 2 t

Passo 4

Podemos, então, substituir α → ' na fórmula abaixo, escrevendo   x y em função de x , nosso parâmetro:

∫ C   f d s = ∫ a b f α ( t ) ⋅ α → ' d t

Escrevendo o campo nas variáveis da parametrização, temos:

f x t , y ( t ) = 2   s e n t cos ⁡ ( t )

Então a integral fica

= ∫ 0 π 2   s e n t cos ⁡ ( t ) 1 + 3 s e n 2 t d t =

Passo 5

Agora falta resolver a integral né? Vamos fazer a substituição

1 + 3 s e n 2 t = u

6   s e n t cos ⁡ ( t ) d t = d u

t = 0             →           u = 1

t = π             →           u = 1

Levando para a integral, temos:

= 1 3 ∫ 1 1 u d u =

= 2 9 u 3 / 2 1 1 = 0

Resposta

  1. 0

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas