Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R²

Integrais de linha – caso escalar

Um fio tem o formato da curva { x , y   ϵ   R 2 : x - 2 2 + y 2 = 4 ,   y ≥ 0 } . Se sua densidade de massa é dada por δ x , y = x 2 + y 2 , determine a massa total do fio.

Passo 1

O problema nos pede a massa do fio, sendo que nos foi dada a densidade de massa δ x , y . Sendo d s um comprimento infinitesimal do fio e d m o diferencial de massa, podemos dizer isso aqui:

d m = δ x , y d s

Certo? Integrando dos dois lados ao longo da curva γ que representa o fio, temos o seguinte:

M = ∫ γ   δ x , y d s

Então, precisamos resolver essa integral de linha daí.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bom, antes de tudo precisamos parametrizar essa curva γ né? Temos a seguinte equação:

x - 2 2 + y 2 = 4

Bom, isso aí é uma circunferência centrada em ( 2,0 ) , não é? Vamos usar coordenadas polares então:

x = r cos ⁡ θ + 2

y = r   s e n   θ

Nós somamos esse termo + 2 na coordenada x porque ele vai fazer desaparecer o - 2 na equação da circunferência. Isso nos leva à identidade s e n 2 + cos 2 ⁡   = 1 .

Beleza, mas o raio da circunferência é 2 , não é? Então vamos substituir r = 2 :

x = 2 cos ⁡ θ + 2

y = 2   s e n   θ

Logo, uma parametrização para a nossa curva seria

σ → = ( 2 cos ⁡ θ + 2,2 sen ⁡ θ )

Como temos y > 0 , sabemos que se trata de meia volta na circunferência, logo, 0 ≤ θ ≤ π .

Passo 3

Vamos, agora, calcular σ → ' : σ → ' = d 2 cos ⁡ θ + 2 d θ , d 2 sen ⁡ θ d θ = ( - 2   s e n   θ , 2 cos ⁡ θ )

Passo 4

Agora, calculamos σ → ' :

σ → ' = - 2   s e n   θ 2 + 2 cos ⁡ θ 2 =

= 2

Passo 5

Podemos, então, substituir σ → ' na fórmula abaixo, escrevendo   x y em função de x , nosso parâmetro:

M = ∫ C   δ x , y d s = ∫ a b δ x θ ,   y θ ⋅   σ → ' d θ

Com a parametrização σ → = ( 2 cos ⁡ θ + 2,2 sen ⁡ θ ) , a função que vamos integrar

δ x , y = x 2 + y 2

Passa a ser

δ x θ , y θ = 2 cos ⁡ θ + 2 2 + 2 sen ⁡ θ 2 = 8 cos ⁡ θ + 8

Então a integral fica

∫ γ   δ   d s = ∫ 0 π 8 cos ⁡ θ + 8 2   d θ

Repare que o intervalo da integral é aquele que encontramos para x na parametrização!

Passo 6

Agora falta resolver a integral né?

= 16 ∫ 0 π cos ⁡ θ + 1   d θ =

= 16 ( s e n   θ + θ ) 0 π =

= 16 π

Resposta

16 π

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