Questão 1: Considere a superfície parametrizada , cuja imagem denotaremos por .
a) Calcule uma equação implícita para .
b) Faça um esboço de .
c) é uma superfície parametrizada regular ou não? Justifique a resposta.
d) Calcule a equação implícita do plano tangente a no ponto .
e) Calcule a integral de superfície .
Passo 1
Então, vamos sempre começar problemas como esse, de passar da parametrização para a equação implícita, retirando algumas informações da própria equação paramétrica...
Então...
Sacou? Então o que precisamos fazer basicamente é chegar numa expressão envolvendo apenas , e . Bora lá!
Passo 2
Como o e o envolvem cosseno e seno, se elevarmos ao quadrado e somar...
somando...
Como o ...
Viu como é interessante fazer isso? Você simplesmente desaparece com o termo dali !
Passo 3
Como e ainda não usamos essa informação...
Substituindo na equação que encontramos...
Prontinho! Eis aí uma equação implícita para a superfície pedida !
Passo 4
Para esboçar a superfície , vamos com calma. Vamos começar vendo qual é a cara da curva de intersecção da superfície , com o plano ... Se pegarmos a equação implícita que acabamos de definir...
Extraindo a raiz...
Elevando ao ...
Epa! Chagamos uma equação conhecida. A equação de uma curva cúbica...
Mas, não queremos essa curva toda, afinal sabemos que ...
Então queremos apenas o pedacinho que vai de a ... Bem, essa é a cara da curva de intersecção da superfície no plano . Mas o que acontece na intersecção com o plano ?
Passo 5
Como a equação é...
Já calculamos isso aí, e vamos chegar a...
Com indo de a ...
Repare que a curva foi à mesma, nó apenas giramos em torno do , o que nos sugere que a superfície , vai ser a rotação dessa curva ao redor do eixo ... Esse negócio de sugere não é legal, neh? É bom nós termos certeza, e cara, vou te contar um segredinho que talvez você já até sabe: essa parametrização aqui:
Por ter e em e , caracteriza uma superfície de revolução ao redor de , portanto estamos corretos ao dizer que a superfície foi essa que encontramos por lógica:
Sacou? :D
Passo 6
Para saber se a superfície é regular ou não, precisamos encontrar o vetor normal ...
Como...
Então...
Como o produto vetorial é um determinante...
Multiplicando cruzado lá...
Esse é o Vetor normal. Em uma notação mais simpática é...
Com esse vetor em mãos, para saber se a parametrização é regular ou não, vejamos...
Passo 7
A supefície se diz regular quando o vetor normal não zera em nenhum ponto dessa superfície.
Cara, a única forma de zerar esse vetor aí é se o fosse , mas como pelo próprio enunciado...
Podemos afirmar que essa parametrização é regular ;)
Passo 8
Bem, todo plano no espaço tem essa cara:
Para determinarmos o plano tangente pedido, o que precisamos fazer é determinar esse , , e aí. Ou pelo menos eliminá-los da brincadeira.
Um plano tem outra característica muito importante: esse , e ai são nada mais nada menos que coordenadas do vetor normal a esse plano... .
Como o plano é tangente a normal a superfície , , naquele ponto de tangência é a mesma normal do plano...
Como a equação da normal do plano já está calculada... . Basta substituir o ponto...
Como
Substituindo na equação do plano...
Agora nos falta determinar ...
Passo 9
Para determinar o , nós precisamos de outra informação. Bem, pensa comigo, o plano é tangente ao ponto . Isso significa que ele passa por esse ponto também, mas que ponto é esse? Vejamos...
Então esse é o ponto. Já que ele pertence ao plano, podemos substituir na equação do plano...
Então uma equação para o plano tangente é...
Sacou?
Passo 10
Para calcular essa integral de superfície, lembremos que ela pode se transformar em uma integral dupla da forma...
Como é...
No lugar de , podemos colocar os limites de e ...
Portanto agora só nos falta encontrar o módulo do vetor normal...
Passo 11
Como...
Então...
Como é maior que ...
Então...
Bora integrar?
Passo 12
Calculando a integral com relação a considerando constante...
Como é uma integral iterada...
Lembrando que
Calculamos a primeira integral...
Para resolver essa integral de dentro, façamos uma substituição simples...
Trocando também os limites de integração...
Resposta
Parametrização Regular.
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