Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R²

Integral de Linha – Caso Escalar

Sejam a , b ∈ R tais que 0 < a ≤ b . Considere a curva C representada parametricamente por r : 0,2 π → R 2 , r t = a cos ⁡ t ,   b sen ⁡ t

b) Assuma a = b . Usando a integral de linha, calcule o comprimento da curva C

Passo 1

b )

O comprimento da curva vai ser a integral de linha de 1 , ou seja,

L = ∫ C 1 . d s

Temos a parametrização da curva, que vai ser r t , lembrando que dessa vez r t vai ser

r t = a cos ⁡ t ,   a sen ⁡ t

Isso porque ele disse que a = b

Lembra como fazemos agora? Primeiro vamos achar r ' t

r ' t = - a sen ⁡ t ,   a cos ⁡ t

Agora temos que achar a norma desse cara

r ' t = - a sen ⁡ t 2 + a cos ⁡ t 2 = a 2 sen 2 ⁡ t + a 2 cos 2 ⁡ t

r ' t = a 2 sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = a 2 ∙ 1 = a 2 = a

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A integral vai ficar

L = ∫ C 1 . d s = ∫ 0 2 π r ' t d t

Trocando o valor que achamos, vamos ter

L = ∫ 0 2 π a d t = a t t = 0 2 π = a 2 π - 0 = 2 π a

Resposta

L = 2 π a

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