Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 261-4b.

Calcule a área da superfície do cone z 2 = x 2 + y 2 situada entre os planos z = 0 e x + 2 z = 3 .

Passo 1

Começamos com a parametrização da superfície em questão. Como se trata de um cone, é razoável utilizar coordenadas esféricas ou cilíndricas. Entretanto, uma coisa que devemos sempre prestar atenção é nas equações das superfícies que limitam a que queremos descobrir a área.

Como se tratam de planos, não é adequada nenhuma parametrização que envolva funções trigonométricas (i.e. cilíndrica e esférica). Portanto, a melhor parametrização que conseguimos obter é a explícita...

Encontrando z em função de x e y obtemos:

z = ± x 2 + y 2

Podemos perceber que são duas parametrizações possíveis. Afinal de contas o cone tem uma parte superior e uma inferior. Como estamos integrando entre z = 0 e um outro plano, podemos observar pelos cortes desses planos que só precisamos parametrizar a parte superior do cone.

Se você não tiver a intuição de qual corte fazer, tente todos os três possíveis: x y , x z , y z . Basta em cada um igualar uma das variáveis à uma constante (geralmente zero).

No plano x z , que é o plano y = 0 , temos essa revelação. Neste plano o corte do cone é:

z = ± x 2

z = ± x

Representado em laranja. Ao passo que o corte do plano:

z = 1 2 3 - x

É representado em azul.

Portanto:

ϕ x , y = x , y , x 2 + y 2

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Passo 2

Vamos determinar agora as limitações da superfície em termos da nossa parametrização:

z = 0

x + 2 z = 3 Agora vamos ver como é que o outro plano encontra com o nosso cone:

z = 1 2 3 - x

Substituindo na equação do cone:

3 - x 2 4 = x 2 + y 2

9 - 6 x + x 2 = 4 x 2 + 4 y 2

3 x 2 + 6 x - 9 + 4 y 2 = 0

Completando o quadrado perfeito:

3 x 2 + 2 x - 3 + 4 y 2 = 0

3 x 2 + 2 x + 1 - 4 + 4 y 2 = 0

3 x 2 + 2 x + 1 - 12 + 4 y 2 = 0

3 x + 1 2 + 4 y 2 = 12

1 4 x + 1 2 + y 2 3 = 1

x + 1 2 2 + y 3 2 = 1

Como chegamos à esse negócio mesmo? Ah sim, nós igualamos a equação do plano à do cone. Então nós conseguimos encontrar a equação dos pontos que pertencem tanto à um quanto ao outro. Por consequência, a região dos pontos do cone que estão entre um plano e outro é dos pontos que estão no interior desta elipse:

x + 1 2 2 + y 3 2 1

Ou seja, nossa parametrização é: ϕ x , y = x , y , x 2 + y 2

Ao passo que nosso domínio é:

D = x , y R 2 x + 1 2 2 + y 3 2 1

Dá pra ver que não vai dar muito certo fazer essa conta aí por causa do domínio... Mais tarde voltaremos nisso.

Passo 3

Para aplicar a fórmula da área precisamos do módulo do vetor normal:

A = D   ϕ ( x , y ) x × ϕ ( x , y ) y d x d y

Calculando as derivadas parciais:

ϕ ( x , y ) x = 1,0 , x x 2 + y 2  

ϕ ( x , y ) y = 0,1 , y x 2 + y 2

Fazendo o produto vetorial:

ϕ ( x , y ) x × ϕ ( x , y ) y = i j k 1 0 x x 2 + y 2 0 1 y x 2 + y 2

ϕ ( x , y ) x × ϕ ( x , y ) y = - x x 2 + y 2 , - y x 2 + y 2 , 1

E calculamos o módulo:

ϕ ( x , y ) x × ϕ ( x , y ) y = x 2 x 2 + y 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1

ϕ ( x , y ) x × ϕ ( x , y ) y = x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1

ϕ ( x , y ) x × ϕ ( x , y ) y = 2

Passo 4

Aplicando a fórmula, temos:

A = D   2 d x d y

Sendo que:

D = x , y R 2 x + 1 2 2 + y 3 2 1

O detalhe é que fazer essa conta obviamente não vai ser agradável... Vamos trocar de coordenadas por favor? Implementando coordenadas polares, obtemos: x + 1 2 = r cos t x = 2 r cos t - 1

y 3 = r   s e n t y = 3 r   s e n t

Daí tiramos que nosso domínio vai ser:

r cos t 2 + r   s e n t 2 1

r 2 cos 2 t + s e n 2 t 1

r 2 1

0 r 1

D = r , t R 2 0 r 1 ,   0 t 2 π

Falta só calcular o Jacobiano para trocar de variáveis. Lembrando lá das mudanças polares

( x , y ) ( r , t ) = 2 3 r

Substituindo na integral os limites de integração junto com o jacobiano:

A = D   2 d x d y

A = 0 2 π 0 1 2 × 2 3 r d r d t

Como são independentes nos limites de integração as variáveis r e t , separamos as integrais:

A = 2 6 0 2 π d t 0 1 r d r

A = 2 6 2 π r 2 2 0 1

A = 2 6 2 π 1 2

Finalmente encerramos!

Resposta

A = 2 6 π

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