Calcule a integral de superfície escalar:

∬ S   5 x y   d S

Sendo S a porção do cilindro:

9 x 2 + 4 y 2 = 36

Contida no primeiro octante, limitada superiormente por:

z = 6 x 2 + y 2

E inferiormente por:

z = x 2 + y 2

Passo 1

Como estamos tratando um cilindro, vamos usar coordenadas cilíndricas:

9 x 2 + 4 y 2 = 36 → 9 x 2 36 + 4 y 2 36 = 1

3 6 x 2 + 2 6 y 2 = 1 → 1 2 x 2 + 1 3 y 2 = 1

Portanto, comparando com a equação trigonométrica fazemos:

x 2 = r cos ⁡ θ

y 3 = r sen ⁡ ( θ )

Se plugarmos de volta na equação obtemos:

r 2 = 1 → r = 1

O que acarreta que:

x = 2 cos ⁡ θ

y = 3 sen ⁡ ( θ )

E portanto a nossa parametrização que era:

ϕ r , θ = x r , θ , y r , θ , z r , θ

Não vai mais depender de r , pois descobrimos ser uma constante. Por consequência disto x e y ficam só como funções de θ e z fica solto:

z θ = z

Sendo seu próprio parâmetro.

Logo, a parametrização para o cilindro é dada por:

ϕ θ , z = 2 cos ⁡ θ , 3 sen ⁡ ( θ ) , z

θ ∈ 0 , π 2

Pois está no primeiro octante.

Substituindo a parametrização nas equações dos paraboloides temos que:

x 2 + y 2 ≤ z ≤ 6 ( x 2 + y 2 )

Portanto, temos que z está no intervalo:

z ∈ 4 cos 2 ⁡ θ + 9 sen 2 ⁡ ( θ ) , 6 4 cos 2 ⁡ θ + 9 sen 2 ⁡ ( θ )  

Passo 2

Calculando o nosso elemento de área:

d S = ∂ ϕ ∂ θ × ∂ ϕ ∂ z d θ d z

Fazendo as parciais:

∂ ϕ ∂ θ = - 2 sen ⁡ ( θ ) , 3 cos ⁡ θ , 0

∂ ϕ ∂ z = 0,0 , 1

Fazendo o produto:

∂ ϕ ∂ θ × ∂ ϕ ∂ z = i j k - 2 sen ⁡ ( θ ) 3 cos ⁡ θ 0 0 0 1

∂ ϕ ∂ θ × ∂ ϕ ∂ z = 3 cos ⁡ θ , 2 sen ⁡ ( θ ) , 0

Segue que o módulo é:

∂ ϕ ∂ θ × ∂ ϕ ∂ z = 9 cos 2 ⁡ θ + 4 sen 2 ⁡ θ 1 2 =

= 5 cos 2 ⁡ θ + 4 cos 2 ⁡ θ + 4 sen 2 ⁡ θ ⏟ 4 1 2 =

= 4 + 5 cos 2 ⁡ θ 1 2

Então

d S = 4 + 5 cos 2 ⁡ θ 1 2   d θ d z

Passo 3

Plugando na integral:

I = ∫ 0 π 2 ∫ 4 cos 2 ⁡ θ + 9 sen 2 ⁡ ( θ ) 6 4 cos 2 ⁡ θ + 9 sen 2 ⁡ ( θ ) 30 cos ⁡ θ sen ⁡ ( θ ) 4 + 5 cos 2 ⁡ θ 1 2 d z d θ

Agora é hora de ser guerreiro:

I = ∫ 0 π 2 150 cos ⁡ θ sen ⁡ ( θ ) 4 cos 2 ⁡ θ + 9 sen 2 ⁡ θ ⋅ 4 + 5 cos 2 ⁡ θ 1 2 d θ

Já pensando em fazer uma substituição, vamos manipular a expressão 4 cos 2 ⁡ θ + 9 sen 2 ⁡ ( θ ) para aparecer o 4 + 5 sen 2 ⁡ ( θ ) , mas vamos parar para pensar um pouco o porque disso.

Temos um cara muito louco dentro de uma raiz, que é esse cara bonitinho 4 + 5 cos 2 ⁡ θ , a nossa ideia é fazer uma substituição onde vamos chamar esse cara de u , mas porque diabos fazemos isso? Se eu derivar esse cara vai aparecer cos ⁡ θ sen ⁡ θ que é o que está do lado de fora assim a nossa integral vai ficar mais facinha de fazer.

E você vai ver aqui embaixo que aquele outro cara também dá para colocar um número mais 4 + 5 cos 2 ⁡ θ , por “coincidência” fica bonitinho, isso na verdade é o seu professor de cálculo querendo “ajudar” rs, vamos voltar para a conta

4 cos 2 ⁡ θ + 9 sen 2 ⁡ ( θ ) =   4 cos 2 ⁡ θ + 5 cos 2 ⁡ θ - 5 cos 2 ⁡ θ + 9 sen 2 ⁡ ( θ )

= 9 cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ - 5   cos 2 ⁡ θ

= 9 - 5 cos 2 ⁡ θ = 13 - 4 - 5 cos 2 ⁡ ( θ )

= 13 - ( 4 +   5 cos 2 ⁡ θ )

Vamos substituir:

I = ∫ 0 π 2 150 cos ⁡ θ sen ⁡ ( θ ) 13 - 4 +   5 cos 2 ⁡ θ ⋅ 4 + 5 cos 2 ⁡ θ 1 2 d θ

Põe as constantes pra fora... Sem fazer nenhum movimento brusco.

I = 150 ∫ 0 π 2 cos ⁡ θ sen ⁡ ( θ ) 13 - 4 +   5 cos 2 ⁡ θ ⋅ 4 + 5 cos 2 ⁡ θ 1 2 d θ

Fazendo a substituição simples:

v = 4 + 5 cos 2 ⁡ θ → d v = - 10 cos ⁡ θ sen ⁡ ( θ ) d θ

d θ = - d v 10 cos ⁡ θ sen ⁡ ( θ )

Substituindo dá:

I * = - 15 ∫ 13 - v v 1 2   d v

Agora fazendo a distributiva e partindo pro abraço:

I * = - 15 ∫ 13 v 1 2 - v 3 2 d v

I * = - 15 13 × 2 3 v 3 2 - 2 5 v 5 2

Daí:

I * = - 15 26 3 4 + 5 cos 2 ⁡ θ 3 2 - 2 5 4 + 5 cos 2 ⁡ θ 5 2

Plugando de volta os valores de integração:

I = - 150 × 13 15 4 + 5 cos 2 ⁡ θ 3 2 0 π 2 + 150 25 4 + 5 cos 2 ⁡ θ 3 2 0 π 2

I = 130 27 - 8 - 6 × 6 243 - 32

I = 1204

Resposta

I = 1204

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