Questão 3) Calcule a área da parte do paraboloide elíptico que se encontra dentro do cilindro .
Passo 1
Para fazer o cálculo dessa área, vamos precisar usar a integral de superfície descrita por
Vamos ter que fazer bastante coisa pra chegar nessa integral certinha: primeiro vamos achar uma parametrização para a superfície, achar os seus limites e por fim o módulo do vetor normal. Quando fizermos isso, vamos voltar pra integral e resolver!
Começando pela parametrização da superfície, o esboço dela é esse aqui:
O exercício pede a superfície do paraboloide, né? Então vamos usar os cilindros somente para limitar as variáveis, a parametrização mesmo vai ser a do paraboloide. Uma possível é a seguinte:
Então a superfície de uma forma mais legal...
Passo 2
Projetando as superfícies do cilindro no plano fica assim
O enunciado diz que a região é a interior ao cilindro . Então por hora, vamos apenas dizer que os parâmetros variam nessa região ai da elipse, ok? Depois se precisar, descrevemos em coordenadas polares.
Passo 3
Vamos achar agora o valor do nosso vetor normal
Calculando cada derivada separadamente
Passo 4
O módulo da normal vai ficar
Passo 5
Juntando tudo na integral de área
Usando as coordenadas polares elípticas para calcular essa integral dupla...
Onde por e varia na elipse de mesmo e , o varia de até e tem que dar uma volta completa, então...
Fazendo uma mudança do tipo
Trocando também os limites de integração...
Resposta
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